2.4. Операции над событиями

Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. Для геометрической иллюстрации действий над событиями, кроме таблиц, можно так же, как в теории множеств, использовать диаграммы Венна. Пространство (множество) элементарных событий будем считать некоторой областью на плоскости, например, прямоугольником, элементарные исходы  точками плоскости, лежащими внутри . При этом события – определённые совокупности (множества) точек  удобно изображать в виде множеств изолированных точек (рис.2.4.1, а, б) или сплошных фигур (рис.2.4.1, в). В обоих случаях соотношения между событиями будем трактовать как попадание точки в область, соответствующую этому событию. Приведём основные операции над событиями, указывая в скобках аналог из теории множеств.

а) б) в)

В

А В А

Рис.2.4.1

1. АВ (множество А есть подмножество множества В, А входит в В)  событие А влечёт за собой событие В (рис.2.4.2). Иными словами, событие В происходит всякий раз, когда происходит событие А (событие А – частный случай события В).

АВ	АВ	АВ
Рис. 2.4.2	Рис.2.4.3	Рис.2.4.4

Событие А будет частью события В только в том случае, когда элементарные события, представляющие событие А, принадлежат подмножеству событий, представляющих событие В. (В содержит не меньше элементарных событий).

Пример 1.. Событие А – появление двух или четырёх очков при бросании игральной кости. Событие В – появление чётного числа очков при бросании

игральной кости. Здесь .

Пример 2. Мишень изображена на рисунке 2.4.5. Событие А – попадание в круг, В – в треугольник, С – в прямоугольник.

Тогда .

Рис.2.4.5.

Пример 3. Испытание состоит в произведении двух выстрелов по мишени (пример 5 с табличками). Рассмотрим события: А – попадание в мишень при 1-м выстреле, В – поражение мишени. Тогда .

2. А=В (соотношение эквивалентности множеств) – событие А тождественно событию В. Это возможно тогда и только тогда, когда и .

Пример 4. Событие А – выпадение герба. Событие В – невыпадение решки. А=В.

Пример 5. Событие А – выпадение 1, 3 или 5 при бросании кубика. Событие В – выпадение нечётного числа очков. А=В.

3. А+В (АВ  объединение множеств) – сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А или В (здесь неисключающее логическое или). Другими словами, произошло или А, или В, или А и В одновременно (рис.2.4.3, 2.4.4).

Пример 6. Событие А – выпадение числа 1 при бросании кубика. Событие В – выпадение числа 3. Событие А+В – выпадение нечётного числа, меньшего 5.

4. (АВ  пересечение множеств) – это произведение событий. Это событие, состоящее в совместном наступлении событий А и В (рис. 2.4.6, 2.4.7.).

А  В А  В

Рис.2.4.6 Рис.2.4.7

Пример 8. А – появление картинки при вынимании карты из колоды. В – появление бубны. АВ – появление бубновой картинки. Покажем это на диаграмме, выполненной в виде таблицы. Множеством элементарных событий в случае колоды из 36 карт будет множество всех карт колоды, т.к. элементарное событие  это появление одной карты. Изобразим это множество в виде таблицы, строками которой будут масти, а столбцами – достоинство (тип) карты:

тип масть	6	7	8	9	10	ВАЛЕТ	ДАМА	КОРОЛЬ	ТУЗ
пики	6п	7п	8п	9п	10п	Вп	Дп	Кп	Тп
трефы	6т	7т	8т	9т	10т	Вт	Дт	Кт	Тт
бубны	6б	7б	8б	9б	10б	Вб	Дб	Кб	Тб
черви	6ч	7ч	8ч	9ч	10ч	Вч	Дч	Кч	Тч

Тогда событие А (картинка) будет изображаться четырьмя последними столбцами, событие В (бубна) – третьей строкой таблицы. Произведение АВ (бубновая картинка) – пересечением этих множеств, т.е. четырьмя последними клетками третьей строки.

Пример 9. А – выбранное число кратно 2. В – выбранное число кратно 3.  выбранное число кратно 6.

А  В

Рис.2.4.8. Рис.2.4.9. Рис.2.4.10.

5. ( А \ В) множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В – разность событий. Это событие, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит (рис.2.4.8).

Пример 10. А – выпадение нечётного числа очков при бросании кубика. В – выпадение 1 очка. А–В – выпадение 3 или 5 очков.

6. (дополнение множества А до ) – противоположное событие, состоящее в том, что событие А не происходит (рис.2.4.9, 2.4.10). Из определения ясно, что сумма противоположных событий – достоверное событие (при испытании обязательно произойдет либо А, либо все, кроме А). Произведение противоположных событий – невозможное событие, т.к. А и  несовместные события.

. В частности, .

Пример 11. А – появление трефы при вынимании карты из колоды. – появление пики, червы или бубны (любой масти, кроме трефы).

Пример 12. А – попадание в мишень двумя выстрелами из двух. – попадание одним выстрелом из двух или 2 промаха.

Пример 13. А – хотя бы одно попадание при 2 выстрелах. – ни одного попадания (2 промаха).

7. 

   

   Рис.2.4.11

   Другое определение несовместных событий. События А и В называются несовместными, если (рис.2.4.11). Это означает, что не существует ни одного элементарного события, принадлежащего и А, и В.

Аналогично события называются попарно несовместными, если для любых . Таким образом, для попарно несовместных событий можно записать:

Ясно, что два несовместных события являются частным случаем попарно несовместных событий.

Пример 13.. А – срок службы прибора менее 1 года. В – срок службы прибора более 5 лет.

Пример 14. А – два попадания в мишень при двух выстрелах. В – 2 промаха при двух выстрелах.

Из рис.2.4.11 видно, что события А и В не пересекаются, следовательно, суммой двух несовместных событий является событие, осуществляющееся в появлении либо события А, либо события В. Можно также воспользоваться исключающим логическим или (XOR).

8. Два события А и В называются совместными, если существует по крайней мере одно элементарное событие, входящее в произведение А и В, т.е. благоприятствующее и событию А, и событию В. Совместные события всегда имеют непустое пересечение.

Пример 15. А – число выпавших очков на кубике больше 3. В – число выпавших очков на кубике меньше 5. Элементарное событие благоприятствует А и В.

Понятия произведения и суммы можно распространить на бесконечные последовательности (счётные множества) событий. Событие

состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий .