12.7.3. Распределение Пуассона

Если случайная величина имеет распределение Пуассона (8.4.1), то она принимает значения k=0,1,2,… с вероятностями

(12.7.5)

В данном случае возможные значения случайной величины определяются бесконечной числовой последовательностью, и, следовательно, математическое ожидание выражается суммой бесконечного ряда

По сокращённой формуле (12.4.1) найдём дисперсию:

.

Здесь мы воспользовались тем, что выражение есть разложение экспоненты е^ в ряд Маклорена. Таким образом, если случайная величина имеет распределение Пуассона, то и математическое ожидание, и дисперсия равны параметру =пр, т.е. среднему числу появлений события А.

12.7.4. Гипергеометрическое распределение

как частный случай урновой схемы

1. Гипергеометрическое распределение.

Пример. В урне N шаров, из них М чёрных. При случайном извлечении из урны одного шара вероятность вынуть чёрный шар равна

.

Если из урны извлекается n шаров без возвращения в урну, то вероятность того, что среди них m чёрных, равна (8.5.1)

.

Числовые характеристики гипергеометрического распределения равны:

(12.7.6)

(без доказательства, формулу для дисперсии запоминать не надо). Первую формулу можно понимать так: среднее число чёрных шаров в выборке будет равно математическому ожиданию, следовательно,

; . (12.7.7)

Это означает, что процент особых объектов примерно одинаков в выборке и генеральной совокупности.

Пример. Определение числа рыб в пруду или небольшом озере с помощью пробного лова. Сначала неводом отлавливают часть рыбы в водоёме, метят пойманную рыбу несмываемой краской и выпускают её обратно в водоём. Предположим, что в водоёме было N рыб, из них мечеными стало М рыб. Через некоторое время при втором улове неводом п рыб мечеными оказалось т рыб. Если считать, что рыбы в водоёме хорошо перемешались, то из (12.7.7) получаем .

2. Общий случай урновой схемы. Пусть объекты различаются не по двум (чёрный или не чёрный), а по r различным признакам. Тогда распределение вероятностей количеств шаров разного цвета в выборке из п объектов равно

.

Для общего случая урновой схемы . (12.7.8)

Урновая схема используется для вычисления вероятностей при розыгрыше различных лотерей, при жеребьёвке. Поскольку при больших N, n и N–n по закону больших чисел относительные частоты m_i /n близки к M_i /N, то урновая схема служит вероятностной моделью социологических опросов, при которых по известным приближённо определяется .

В этом случае N – общая численность населения города, области или страны, где производится опрос; n – количество случайно выбранных опрошенных людей, m_i – число опрошенных, высказавших некоторое мнение A_i, а М_i – общее количество среди всех N людей, которые высказали бы мнение A_i. При этом, разумеется, выборка должна быть репрезентативной.

Тема: Равномерное и показательное распределения

К основным видам распределений непрерывного типа относятся равномерное, показательное и нормальное распределения.

13.1. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х равномерно распределена в промежутке <a, b>, если плотность распределения вероятностей её значений сохраняет постоянное значение на <a, b>, а вне этого промежутка равна нулю:

(13.1.1)

По свойству 3 плотности:

.

Это площадь прямоугольника с основанием и высотой с (рис.13.1.1).

Отсюда находим, что , и функция плотности равномерно распределённой случайной величины на промежутке <a, b> задаётся так:

(13.1.2)

График плотности изображён на рис. 13.1.1. Из формулы (13.1.2) видно, что равномерное распределение полностью определяется двумя параметрами: а и b. Это концы промежутка, на котором сосредоточена плотность.

Вероятность попадания возможного значения равномерно распределённой случайной величины в любой промежуток <, >, лежащий внутри <a, b>, пропорциональна длине этого промежутка и численно равна площади заштрихованного прямоугольника на рис.13.1.3:

. (13.1.3)

Найдём функцию распределения. Пусть <a, b>=(a, b] и . Положим в формуле (13.1.3) . Тогда

.

Т.к. случайная величина сосредоточена на (a, b], из свойства 4 функции распределения вероятностей случайной величины Х:

(13.1.4)

График интегральной функции распределения изображен на рис.13.1.2.

Рис.13.1.1	Рис.13.1.2	Рис.13.1.3

Пример 1. Вертикально поставленное колесо (рис.13.1.4) приводится во вращение и затем останавливается вследствие трения. Рассматривается случайная величина   угол, который после остановки будет составлять с горизонтом фиксированный радиус колеса ОА. Очевидно, величина  распределена с равномерной плотностью на участке (0; 2]. Найти постоянную с и вероятность того, что угол  будет от 30 до 60 градусов.

Решение. , .

Найденные значения показаны на рис.13.1.5. Заштрихованный прямоугольник составляет 1/12 площади большого прямоугольника. Это соответствует тому, что сектор в 30 составляет 1/12 площади круга.

Рис.13.1.4.	Рис.13.1.5.

Пример 2. Поезда метрополитена идут с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Т, в течение которого ему придется ждать поезда, представляет собой равномерно распределённую на участке (0; 2] случайную величину. Здесь с=1/2, а вероятность того, что пассажиру придётся ждать поезда не более полуминуты, равна .

Найдём числовые характеристики равномерного распределения. По формуле (11.2.2) математическое ожидание равно

Т.о., математическим ожиданием случайной величины, равномерно распределённой на некотором промежутке, является середина этого промежутка. Это легко видеть на графике плотности.

По формуле (12.4.2) вычислим дисперсию:

.

Если предполагается, что случайная величина распределена равномерно, а параметры а и b неизвестны, то их можно найти, произведя оценку по известным значениям случайной величины x_i и их относительным частотам _i (см. главу «Математическая статистика»):

Решив систему, найдем параметры а и b.