Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
комбинаторика.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
2.14 Mб
Скачать

12.6. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)

Определение. Средним квадратическим отклонением (с.к.о.) случайной величины Х называется квадратный корень из её дисперсии:

. (12.6.1)

Среднее квадратическое отклонение имеет тот же смысл, что и дисперсия, т.е. является характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Вторая характеристика того же признака введена потому, что в отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и значения случайной величины. Например, если xi и МХ измеряются в метрах, то DX будет измеряться в квадратных метрах, что неудобно, а среднее квадратическое отклонение – соответственно снова в метрах.

12.7. Числовые характеристики основных дискретных распределений

12.7.1. Индикатор события

Найдём для характеристической случайной величины (8.2.1) её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Очевидно, что величина имеет такой же закон распределения, что и :

k

0

1

pk

q

p

0

1

pk

q

p

Тогда

(12.7.1)

12.7.2. Биномиальное распределение

Пусть случайная величина Х принимает значения k=0,1,2,…,п и распределена по биномиальному закону:

Р(Х=k)= (12.7.2)

Величину Х можно рассматривать как сумму независимых случайных величин

, (12.7.3)

где слагаемыми являются характеристические случайные величины. Действительно, рассмотрим индикаторы каждого из п испытаний

1

0

1

2

0

1

k

0

1

n

0

1

p

q

р

p

q

р

p

q

р

p

q

р

и составим ряд распределения случайной величины (12.7.3), которая по определению суммы случайных величин принимает возможные значения, равные всевозможным суммам, составленным из п нулей и единиц. Таких сумм будет , где k  число единиц в сумме. Вероятности принятия этих значений получим, перемножив вероятности р и q в нужных количествах.

Х=

0+0+…++0=0

(1 комбинация)

0+0+…+

+0+1=1

( комбинаций)

0+0+…+0+

+1+1=2

( комбинаций)

0+0+…+

+1+1+…1=k

( комбинаций)

… …

0+1+1+…+1= n-1

( комбинаций)

1+1+…+

+1=n

(1 комбинация)

p

qn

……

n

Получили биномиальное распределение случайной величины (12.7.3). Для нахождения её числовых характеристик воспользуемся свойствами линейности математического ожидания и дисперсии относительно суммирования и формулами (10.12.1):

(12.7.4)

Теперь становится понятным смысл случайной величины в приближённых формулах Лапласа (7.2.2, 7.2.4). А именно, Х представляет собой отклонение числа появлений события А от его математического ожидания (среднего значения), измеренное в стандартах, или так называемое нормированное отклонение.

Пример. Стрелок делает 2 выстрела в цель. Вероятность попадания при одном выстреле равна р, промаха – q. Тогда числа попаданий при первом и втором выстрелах имеют распределение

1

0

1

2

0

1

p

q

р

p

q

р

Сумма имеет распределение

0

0+1=1

2

p

q2

2рq

p2

При трёх выстрелах имеем распределение:

0

1

2

3

p

q3

3рq2

3pq2

p3

Это частные случаи биномиального распределения при п=2 и 3.