
- •1. Элементы комбинаторики.
- •1.1. Перестановки
- •1.2. Перестановки с повторениями
- •1.3. Размещения
- •1.4. Размещения с повторениями (с возвратом)
- •1.5. Сочетания
- •1.6. Сочетания с повторениями (с возвратом)
- •1.7. Обобщение
- •2. Случайные события
- •2.1. Испытания и события
- •2.2. Виды случайных событий
- •2.3. Пространство элементарных событий
- •2.4. Операции над событиями
- •Событие
- •9. Полная группа событий. Совокупность событий называется полной группой событий, если:
- •2.5. Свойства операций над событиями
- •3.1 Относительная частота событий
- •3.2. Свойства относительной частоты
- •3.3. Статистическая устойчивость частот
- •3.4. Формулировка аксиом Колмогорова.
- •3.5. Следствия из аксиом
- •4.1. Вычисление вероятностей событий
- •4.2. Задача о выборке
- •4.3. Геометрический подход к вероятности
- •5. Сложение и умножение вероятностей
- •5.1. Сложение вероятностей
- •5.2. Независимые и зависимые события
- •5.3. Условная вероятность
- •5.4. Умножение вероятностей
- •5.5. Свойства условных вероятностей
- •5.6. Независимость нескольких событий
- •5.7. Независимость противоположных событий
- •5.8. Вероятность появления хотя бы одного события
- •5.9. Применение теорем сложения и умножения для решения задач
- •6. Вероятность гипотез
- •6.1.Формула полной вероятности
- •6.2. Переоценка вероятности гипотез. Формула Байеса (Бейеса)
- •7. Серии независимых испытаний
- •7.1. Формула Бернулли
- •7.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •7.3. Свойства функции (х).
- •7.3. Функция Лапласа
- •7.4. Интегральная теорема Лапласа
- •7.5. Закон больших чисел в форме Бернулли
- •7.6. Формула Пуассона
- •8. Случайные величины
- •8.1. Дискретные случайные величины
- •8.2. Характеристическая случайная величина (индикатор события)
- •8.3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
- •8.4. Распределение Пуассона
- •8.5. Гипергеометрическое распределение
- •9. Непрерывные случайные величины
- •9.1. Функция распределения (интегральная функция распределения)
- •9.2. Свойства функции распределения
- •9.3. Примеры функций распределения
- •10. Плотность распределения
- •10.1. Свойства плотности распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения.
- •10.3. Связь между плотностью и функцией распределения
- •10.4. Примеры непрерывных случайных величин, заданных плотностью
- •11. Числовые характеристики случайной величины
- •11.1. Определение математического ожидания
- •11.2. Определение математического ожидания
- •11.3. Смысл математического ожидания
- •11.4. Арифметические операции со случайными величинами
- •11.4.1. Постоянная случайная величина
- •11.4.2. Произведение случайных величин
- •11.4.3. Сумма случайных величин
- •11.4.4. Разность случайных величин
- •11.5. Свойства математического ожидания
- •11.6. Отклонение случайной величины
- •12.1. Дисперсия Для общего представления о распределении случайной величины важное значение имеет не только её математическое ожидание, но и разброс её возможных значений.
- •12.2. Определение дисперсии
- •12.3. Механический смысл дисперсии
- •12.4. Сокращённая формула для вычисления дисперсии
- •12.5. Свойства дисперсии
- •12.6. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)
- •12.7. Числовые характеристики основных дискретных распределений
- •12.7.1. Индикатор события
- •12.7.2. Биномиальное распределение
- •12.7.3. Распределение Пуассона
- •12.7.4. Гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение.
- •13.1. Равномерное распределение
- •13.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •13.2.1. Функция надёжности
12.6. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)
Определение. Средним квадратическим отклонением (с.к.о.) случайной величины Х называется квадратный корень из её дисперсии:
. (12.6.1)
Среднее квадратическое отклонение имеет тот же смысл, что и дисперсия, т.е. является характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Вторая характеристика того же признака введена потому, что в отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и значения случайной величины. Например, если xi и МХ измеряются в метрах, то DX будет измеряться в квадратных метрах, что неудобно, а среднее квадратическое отклонение – соответственно снова в метрах.
12.7. Числовые характеристики основных дискретных распределений
12.7.1. Индикатор события
Найдём для
характеристической случайной величины
(8.2.1) её математическое ожидание, дисперсию
и среднее квадратическое отклонение.
Очевидно, что величина
имеет такой же закон распределения, что
и
:
|
|
Тогда
(12.7.1)
12.7.2. Биномиальное распределение
Пусть случайная величина Х принимает значения k=0,1,2,…,п и распределена по биномиальному закону:
Р(Х=k)=
(12.7.2)
Величину Х можно рассматривать как сумму независимых случайных величин
, (12.7.3)
где слагаемыми являются характеристические случайные величины. Действительно, рассмотрим индикаторы каждого из п испытаний
1 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
1 |
|
k |
0 |
1 |
|
n |
0 |
1 |
p |
q |
р |
p |
q |
р |
p |
q |
р |
p |
q |
р |
и составим ряд
распределения случайной величины
(12.7.3), которая по определению суммы
случайных величин принимает возможные
значения, равные всевозможным суммам,
составленным из п
нулей и
единиц. Таких сумм будет
,
где k
число единиц в сумме. Вероятности
принятия этих значений получим, перемножив
вероятности р
и q
в нужных количествах.
Х= |
0+0+…++0=0 (1 комбинация) |
0+0+…+ +0+1=1
( |
0+0+…+0+ +1+1=2
( |
0+0+…+ +1+1+…1=k
( |
… … |
0+1+1+…+1= n-1 ( комбинаций) |
1+1+…+ +1=n (1 комбинация) |
p |
qn |
|
|
|
…… |
n |
|
Получили биномиальное распределение случайной величины (12.7.3). Для нахождения её числовых характеристик воспользуемся свойствами линейности математического ожидания и дисперсии относительно суммирования и формулами (10.12.1):
(12.7.4)
Теперь становится
понятным смысл случайной величины
в приближённых формулах Лапласа (7.2.2,
7.2.4). А именно, Х
представляет собой отклонение числа
появлений события А
от его математического ожидания (среднего
значения), измеренное в стандартах, или
так называемое нормированное
отклонение.
Пример. Стрелок делает 2 выстрела в цель. Вероятность попадания при одном выстреле равна р, промаха – q. Тогда числа попаданий при первом и втором выстрелах имеют распределение
1 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
1 |
p |
q |
р |
p |
q |
р |
Сумма
имеет распределение
|
0 |
0+1=1 |
2 |
p |
q2 |
2рq |
p2 |
При трёх выстрелах имеем распределение:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
p |
q3 |
3рq2 |
3pq2 |
p3 |
Это частные случаи биномиального распределения при п=2 и 3.