
- •1. Элементы комбинаторики.
- •1.1. Перестановки
- •1.2. Перестановки с повторениями
- •1.3. Размещения
- •1.4. Размещения с повторениями (с возвратом)
- •1.5. Сочетания
- •1.6. Сочетания с повторениями (с возвратом)
- •1.7. Обобщение
- •2. Случайные события
- •2.1. Испытания и события
- •2.2. Виды случайных событий
- •2.3. Пространство элементарных событий
- •2.4. Операции над событиями
- •Событие
- •9. Полная группа событий. Совокупность событий называется полной группой событий, если:
- •2.5. Свойства операций над событиями
- •3.1 Относительная частота событий
- •3.2. Свойства относительной частоты
- •3.3. Статистическая устойчивость частот
- •3.4. Формулировка аксиом Колмогорова.
- •3.5. Следствия из аксиом
- •4.1. Вычисление вероятностей событий
- •4.2. Задача о выборке
- •4.3. Геометрический подход к вероятности
- •5. Сложение и умножение вероятностей
- •5.1. Сложение вероятностей
- •5.2. Независимые и зависимые события
- •5.3. Условная вероятность
- •5.4. Умножение вероятностей
- •5.5. Свойства условных вероятностей
- •5.6. Независимость нескольких событий
- •5.7. Независимость противоположных событий
- •5.8. Вероятность появления хотя бы одного события
- •5.9. Применение теорем сложения и умножения для решения задач
- •6. Вероятность гипотез
- •6.1.Формула полной вероятности
- •6.2. Переоценка вероятности гипотез. Формула Байеса (Бейеса)
- •7. Серии независимых испытаний
- •7.1. Формула Бернулли
- •7.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •7.3. Свойства функции (х).
- •7.3. Функция Лапласа
- •7.4. Интегральная теорема Лапласа
- •7.5. Закон больших чисел в форме Бернулли
- •7.6. Формула Пуассона
- •8. Случайные величины
- •8.1. Дискретные случайные величины
- •8.2. Характеристическая случайная величина (индикатор события)
- •8.3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
- •8.4. Распределение Пуассона
- •8.5. Гипергеометрическое распределение
- •9. Непрерывные случайные величины
- •9.1. Функция распределения (интегральная функция распределения)
- •9.2. Свойства функции распределения
- •9.3. Примеры функций распределения
- •10. Плотность распределения
- •10.1. Свойства плотности распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения.
- •10.3. Связь между плотностью и функцией распределения
- •10.4. Примеры непрерывных случайных величин, заданных плотностью
- •11. Числовые характеристики случайной величины
- •11.1. Определение математического ожидания
- •11.2. Определение математического ожидания
- •11.3. Смысл математического ожидания
- •11.4. Арифметические операции со случайными величинами
- •11.4.1. Постоянная случайная величина
- •11.4.2. Произведение случайных величин
- •11.4.3. Сумма случайных величин
- •11.4.4. Разность случайных величин
- •11.5. Свойства математического ожидания
- •11.6. Отклонение случайной величины
- •12.1. Дисперсия Для общего представления о распределении случайной величины важное значение имеет не только её математическое ожидание, но и разброс её возможных значений.
- •12.2. Определение дисперсии
- •12.3. Механический смысл дисперсии
- •12.4. Сокращённая формула для вычисления дисперсии
- •12.5. Свойства дисперсии
- •12.6. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)
- •12.7. Числовые характеристики основных дискретных распределений
- •12.7.1. Индикатор события
- •12.7.2. Биномиальное распределение
- •12.7.3. Распределение Пуассона
- •12.7.4. Гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение.
- •13.1. Равномерное распределение
- •13.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •13.2.1. Функция надёжности
12.3. Механический смысл дисперсии
Механической
аналогией
дисперсии является момент
инерции
заданного распределения единичной
линейной массы относительно оси,
проходящей через центр тяжести
(математическое ожидание) системы.
Действительно, при pi=mi формула (12.2.2) приобретает вид:
,
где mi – сосредоточенные массы, расположенные на оси абсцисс. Аналогично формулу (12.2.3) перепишем в виде
где (х)
– линейная
плотность распределения масс. Из механики
известно, что правые части двух последних
формул представляют собой моменты
инерции
относительно оси, проходящей через
точку а,
такую, что
,
т.е. через центр тяжести системы.
12.4. Сокращённая формула для вычисления дисперсии
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания:
. (12.4.1)
Замечание 1.
,
т.к. величины
и
зависимы.
Замечание 2.
При доказательстве была применена
формула квадрата разности к случайной
величине
.
По определению произведения случайных
величин и согласно теореме 2 о квадрате
случайной величины её возможные значения
равны
.
Это возможные значения случайной
величины
.
Поэтому можно использовать равенство
.
Для непрерывной случайной величины формула (12.4.1) имеет вид:
. (12.4.2)
Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х сосредоточены на отрезке [a, b], то:
. (12.4.3)
Замечание. Формулу (12.4.1) иногда записывают в виде
.
Пример. Найдем дисперсию случайной величины предыдущего примера по формуле (12.4.1). Для этого составим ряд случайной величины Х2:
Х2 |
1 |
4 |
р |
0,3 |
0,7 |
.
Получено то же значение, что и по определению дисперсии.
12.5. Свойства дисперсии
Все свойства докажем для дискретных случайных величин, но ими обладают и непрерывные величины.
1. Дисперсия случайной величины неотрицательна:
.
2. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
.
Замечание. Действительно, если случайная величина принимает только одно значение, то у нее нет разброса значений (рассеиваться она не может).
3. Нелинейность относительно умножения на константу. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
. (12.5.1)
4. Линейность относительно суммирования. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
. (12.5.2)
Доказательство. Воспользуемся свойствами математического ожидания и независимостью величин Х и Y (тогда математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий).
.
Следствие 1. Свойство 4 можно распространить на любое конечное число слагаемых. Доказательство аналогично линейному свойству математического ожидания.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины:
(12.5.3)
5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
(12.5.4)
Доказательство. По свойствам 4 и 3