11.4.4. Разность случайных величин

Разность случайных величин определяется аналогично сумме. Приведём соответствующую таблицу для величин, имеющих ряды распределения (11.4.15):

Х-Y	х1-у1	х1-у2	x2-у1	(11.4.16) (10.4.7) х2-у2
h

Пример (третий пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне  цифра 2. Найти ряд распределения разности случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y  число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X, Y и X–Y.

Решение. Ряд распределения разности:

X–Y	-1	0	1
h	1/4	1/4+1/4	1/4

Математическое ожидание разности

M(X–Y)= –11/4+01/2+11/4=0.

11.5. Свойства математического ожидания

Свойства математического ожидания докажем для случая дискретных случайных величин. Однако соответствующие теоремы справедливы также и для непрерывных случайных величин.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С)=С. (11.5.1)

Доказательство. По определению постоянной случайной величины ее математическое ожидание равно С1=С.

Следствие. (11.5.2)

Доказательство. МХ – число, т.е. постоянная случайная величина).

2. Линейность относительно умножения на константу. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ)=СМ(Х). (11.5.3)

3 Мультипликативность. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем:

.

Аналогично можно показать для любого количества сомножителей.

4. Линейность относительно суммирования. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трёх слагаемых имеем:

Аналогично можно показать для любого числа слагаемых.

5. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их математических ожиданий:

Пример 1. Вычислить математическое ожидание величин X+Y и XY для примера с двумя монетами, используя свойства математического ожидания.

Сначала вычислим математическое ожидание исходных величин Х и Y.

M(X)=1/2+1=3/2; M(Y)=1/2+1=3/2; M(X)+M(Y)=3; M(X)M(Y)=9/4.

Как видим, значения математического ожидания полностью совпадают со значениями, вычисленными до того, как были сформулированы и доказаны свойства математического ожидания.