11.4.3. Сумма случайных величин

Определение. Суммой двух дискретных случайных величин Х и Y называется случайная величина X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; а вероятности возможных значений суммы X+Y равны произведениям вероятностей возможных значений слагаемых, для зависимых величин  произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность другого, т.е.

(11.4.11)

Если величины Х и Y независимы, то условные вероятности становятся безусловными. В этом случае равенство (11.4.4) примет вид:

(11.4.12)

Таким образом, вероятности суммы задаются так же, как вероятности произведения случайных величин.

Например, если вероятность возможного значения х₁ равна р₁, а вероятность возможного значения у₁ равна g₁, то вероятность возможного значения х₁+у₁ равна Чтобы составить сумму , должны произойти события и , поэтому вероятности перемножаются.

Например, если независимые случайные величины Х и Y заданы рядами распределения:

Х	х1	(11.4.13) х2
р	р1	р2

(11.4.14)

Y	у1	у2
g	g1	g2

то их произведение будет иметь такой ряд:

Х+Y	х1+у1	х1+у2	x2+у1	(11.4.15) (10.4.7) х2+у2
h

Некоторые суммы могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если , то вероятность (или, что то же, ) равна

Замечание. Аналогично определяется сумма более двух случайных величин.

Пример (второй пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне  цифра 2. Найти ряд распределения суммы случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y  число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X, Y и X+Y.

Решение. Ряды распределения случайных величин X и Y имеют вид:

Х	1	2		Y	1	2
р	1/2	1/2		g	1/2	1/2

MX=MY=11/2+21/2=3/2.

Ряд распределения суммы:

X+Y	2	3	4
h	1/4	1/4+1/4=1/2	1/4

Математическое ожидание суммы

M(X+Y)=21/4+31/2+41/4=1/2+3/2+1=3.

Т.е. в среднем число очков, выпавших на двух монетах, будет равно 3.

Теорема 3. Если случайная величина Х распределена по закону (*), то случайная величина Х+С, где С – постоянная величина, имеет распределение:

Х+С	х1+С	х2+С	………	хn+С
p	p1	p2	………	pn

т.е. прибавление постоянной случайной величины не изменяет вероятностей.