11.4. Арифметические операции со случайными величинами

Выясним смысл арифметических операций над дискретными случайными величинами Х и Y: XY, X+Y, XY, если эти величины имеют следующие законы распределения:

(*) Х	х1	х2	……………	(11.4.1) хn
p	p1	p2	……………	pn

(*) Y	y1	y2	……………	(11.4.2) yn
g	g1	g2	……………	gn

11.4.1. Постоянная случайная величина

Определение. Дискретная случайная величина называется постоянной, если она принимает одно возможное значение С с вероятностью р=1.

С	С
р	1

(11.4.3)

Очевидно, закон распределения постоянной случайной величины C имеет вид:

Пример. Кубик, на всех гранях которого нарисована шестёрка.

Определение. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.

Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

11.4.2. Произведение случайных величин

Определение. Произведением случайных величин Х и Y называется случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y; а вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей одного сомножителя на условную вероятность другого:

(11.4.4)

Если величины Х и Y независимы, то равенство (10.4.1) примет вид:

(11.4.5)

Например, если независимые случайные величины Х и Y заданы рядами распределения:

Х	х1	(11.4.6) (10.4.3) х2
р	р1	р2

(11.4.7)

Y	у1	у2
g	g1	g2

то их произведение будет иметь такой ряд:

ХY	х1у1	х1у2	x2у1	(11.4.8) (10.4.7) х2у2
s

Некоторые произведения могут оказаться равными между собой. В этом случае одинаковые возможные значения произведения записываются в таблицу один раз, а их вероятности складываются.

Например, если х₁у₂= x₂у₁, то таблица (11.4.8) тождественна таблице

ХY	х1у1	х1у2	(11.4.9) (10.4.8) х2у2
s

Пример 1 (первый пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне  цифра 2. Найти ряд распределения произведения случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y  число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X, Y и XY.

Решение. Ряды распределения случайных величин X и Y имеют вид:

Х	1	2		Y	1	2
р	1/2	1/2		g	1/2	1/2

MX=MY=11/2+21/2=3/2.

Ряд распределения произведения:

XY	1	2	4
s	1/4	1/4+1/4=1/2	1/4

Математическое ожидание произведения

M(XY)=11/4+21/2+41/4=1/4+1+1=9/4.

Т.е. в среднем произведение числа очков, выпавших на двух монетах, будет равно .

Теорема 1. Произведение случайной величины Х, распределённой по закону (*), на постоянную случайную величину С, имеет ряд распределения:

СХ	Сх1	Сх2	…………	(**) Схn
s	p1	p2	…………	pn

То есть при умножении каждого возможного значения на одно и то же число вероятности остаются прежними.

Теорема 2. Если случайная величина Х распределена по закону (*), то величина Х² имеет ряд распределения

Х2	(х1)2	(х2)2	…………	(***) (хn)2
p	p1	p2	…………	pn

То есть возведение возможного значения в квадрат не изменяет вероятностей.

Пример 3. Случайная величина Х имеет закон распределения, заданный таблицей 1. Найти распределение величины Х². Согласно теореме 2, распределение Х² задается таблицей 2. Заметим, что в таблице 2 случайная величина принимает одинаковые значения, равные 25, поэтому таблицу 2 можно переписать в виде 3, т.к. для одинаковых возможных значений вероятности складываются. Как видим, получилась постоянная случайная величина.

1.	Х	-5	5	2.	Х2	25	25	3.	Х2	25
	р	0,3	0,7		р	0,3	0,7		р	1

Замечание. Аналогично двум случайным величинам определяется произведение любого количества случайных величин.