11.2. Определение математического ожидания

непрерывной случайной величины

Заменим в формуле (11.1.2) сумму интегралом, на х, а на . Получим

Определение 2. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется число

(11.2.1)

Это определение имеет смысл лишь для таких случайных величин Х, для которых данный несобственный интеграл сходится.

Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х сосредоточены на отрезке [a, b], то f(x)=0 при и . Следовательно,

(11.2.2)

Пример. Непрерывная случайная величина задана плотностью

.

Получили абсциссу центра тяжести треугольника под графиком плотности (рис. 11.2.1).

11.3. Смысл математического ожидания

1. Вероятностный смысл. Математическое ожидание случайной величины – это среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины с учётом частоты или вероятности их появления.

Пример 1. Мишень вращается вокруг перпендикулярной оси, проходящей через центр (Рис. 11.3.1). За попадание в сектор k игрок выигрывает k рублей. Стоит ли участвовать в этой игре, если за один выстрел нужно платить 4 рубля? Ожидаемое значение выигрыша будет, очевидно, равно математическому ожиданию дискретной случайной величины Х – количество выигранных рублей. Напишем для неё ряд распределения, используя геометрическое понятие вероятности:

Х	1	2	3	4	5	6
p	1/4	1/8	1/8	1/4	1/8	1/8

Математическое ожидание

.

Играть в эту игру не стоит, т.к. ожидаемый средний выигрыш меньше платы за участие. На этом, впрочем, основаны все аттракционы, если только они не являются благотворительными.

Пример 2. Бросается игральная кость. Найти математическое ожидание числа выпавших очков.

Закон распределения случайной величины Х – числа выпавших очков – таков:

Х	1	2	3	4	5	6
p	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Т.о., среднее число очков равно 3,5, т.е. если бросать кость много раз, то в среднем выпадет 3,5 очков.

Пример 3. Пусть теперь кость неправильная, а именно: на одной грани нарисована единица, а на остальных пяти – шестёрка. Тогда величина, обозначающая число очков, имеет закон распределения:

Y	1	6
р	1/6	5/6

Таково ожидаемое среднее число очков, выпадающее на этой кости.

Математическое ожидание случайной величины даёт удобную характеристику её расположения. Имея ту же размерность, что и значения случайной величины, математическое ожидание находится внутри интервала её возможных значений. Оно указывает некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Поэтому математическое ожидание называют также центром случайной величины.

2. Механической аналогией понятия математического ожидания является центр тяжести прямой единичной массы (центр масс). Как известно, абсцисса центра тяжести дискретной механической системы, состоящей из масс помещённых на оси ОХ в точках (рис.10.3.1), определяется по формуле (среднее взвешенное):

которая при условии принимает вид

Рис.10.3.2	Рис.10.3.3

(11.3.1)

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины численно совпадает с абсциссой центра тяжести единичной массы, распределённой в точках возможных значений случайной величины в количествах (рис.11.3.3). Аналогично формула (11.3.1) определяет абсциссы центра масс, непрерывно распределённых на прямой с плотностью μ(x):

где   линейная плотность распределения единичной массы.

На практике механическую аналогию можно применять для отыскания математического ожидания как центра тяжести фигуры под полигоном или графиком плотности.

Пример 4. Случайная величина задана рядом распределения, показанного в виде расположенной ниже таблицы и полигона на рис.11.3.4:

Х 1 2 3 4 5 6 p 1/8 1/8 1/4 1/4 1/8 1/8

Рис.11.3.4

По виду полигона, пользуясь механической интерпретацией (в точках x_i=1,2,…,6 расположены массы, равные p_i), находим: МХ=3,5. Такой же результат получим при непосредственном вычислении.