
- •1. Элементы комбинаторики.
- •1.1. Перестановки
- •1.2. Перестановки с повторениями
- •1.3. Размещения
- •1.4. Размещения с повторениями (с возвратом)
- •1.5. Сочетания
- •1.6. Сочетания с повторениями (с возвратом)
- •1.7. Обобщение
- •2. Случайные события
- •2.1. Испытания и события
- •2.2. Виды случайных событий
- •2.3. Пространство элементарных событий
- •2.4. Операции над событиями
- •Событие
- •9. Полная группа событий. Совокупность событий называется полной группой событий, если:
- •2.5. Свойства операций над событиями
- •3.1 Относительная частота событий
- •3.2. Свойства относительной частоты
- •3.3. Статистическая устойчивость частот
- •3.4. Формулировка аксиом Колмогорова.
- •3.5. Следствия из аксиом
- •4.1. Вычисление вероятностей событий
- •4.2. Задача о выборке
- •4.3. Геометрический подход к вероятности
- •5. Сложение и умножение вероятностей
- •5.1. Сложение вероятностей
- •5.2. Независимые и зависимые события
- •5.3. Условная вероятность
- •5.4. Умножение вероятностей
- •5.5. Свойства условных вероятностей
- •5.6. Независимость нескольких событий
- •5.7. Независимость противоположных событий
- •5.8. Вероятность появления хотя бы одного события
- •5.9. Применение теорем сложения и умножения для решения задач
- •6. Вероятность гипотез
- •6.1.Формула полной вероятности
- •6.2. Переоценка вероятности гипотез. Формула Байеса (Бейеса)
- •7. Серии независимых испытаний
- •7.1. Формула Бернулли
- •7.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •7.3. Свойства функции (х).
- •7.3. Функция Лапласа
- •7.4. Интегральная теорема Лапласа
- •7.5. Закон больших чисел в форме Бернулли
- •7.6. Формула Пуассона
- •8. Случайные величины
- •8.1. Дискретные случайные величины
- •8.2. Характеристическая случайная величина (индикатор события)
- •8.3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
- •8.4. Распределение Пуассона
- •8.5. Гипергеометрическое распределение
- •9. Непрерывные случайные величины
- •9.1. Функция распределения (интегральная функция распределения)
- •9.2. Свойства функции распределения
- •9.3. Примеры функций распределения
- •10. Плотность распределения
- •10.1. Свойства плотности распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения.
- •10.3. Связь между плотностью и функцией распределения
- •10.4. Примеры непрерывных случайных величин, заданных плотностью
- •11. Числовые характеристики случайной величины
- •11.1. Определение математического ожидания
- •11.2. Определение математического ожидания
- •11.3. Смысл математического ожидания
- •11.4. Арифметические операции со случайными величинами
- •11.4.1. Постоянная случайная величина
- •11.4.2. Произведение случайных величин
- •11.4.3. Сумма случайных величин
- •11.4.4. Разность случайных величин
- •11.5. Свойства математического ожидания
- •11.6. Отклонение случайной величины
- •12.1. Дисперсия Для общего представления о распределении случайной величины важное значение имеет не только её математическое ожидание, но и разброс её возможных значений.
- •12.2. Определение дисперсии
- •12.3. Механический смысл дисперсии
- •12.4. Сокращённая формула для вычисления дисперсии
- •12.5. Свойства дисперсии
- •12.6. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)
- •12.7. Числовые характеристики основных дискретных распределений
- •12.7.1. Индикатор события
- •12.7.2. Биномиальное распределение
- •12.7.3. Распределение Пуассона
- •12.7.4. Гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение.
- •13.1. Равномерное распределение
- •13.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •13.2.1. Функция надёжности
10.3. Связь между плотностью и функцией распределения
Если известна функция распределения F(x), то по определению
Обратно, если известна плотность f(x), то
. (10.3.1)
Замечание. Если все значения непрерывной случайной величины сосредоточены на промежутке , то следует воспользоваться свойством 4 функции распределения:
при x a =0, а при x>b F(x)=1.
В этом случае формулу (10.3.1) нужно применять только на промежутке , причём нижний предел интеграла будет равен не минус бесконечности, а числу а:
. (10.3.4)
В данном случае функция распределения будет кусочно-заданной:
(10.3.5)
10.4. Примеры непрерывных случайных величин, заданных плотностью
Пример 1. Плотность распределения случайной величины Х задана формулой:
(распределение Коши, рис.10.4.1). Построить график плотности; найти вероятность того, что случайная величина Х попадёт на участок (-1; 1); найти функцию распределения.
Решение. Графиком является локон Аньези. По формуле (10.1.2)
.
(см. пример 3 параграфа 9.3).
-
Рис. 10.4.1 Рис. 10.4.2
Пример 2. Случайная величина Х подчинена закону распределения, плотность которого задана графически на рис. 10.4.2. Написать аналитическое выражение для плотности распределения, найти функцию распределения.
По графику видно, что прямая, ограничивающая заштрихованную фигуру сверху, проходит через начало координат; плотность сосредоточена на отрезке [0; 1]. Имеем:
Пользуясь свойством 4 плотности и формулой (10.1.5), находим:
Таким образом,
Найдём функцию распределения. Согласно формуле (10.3.4) на промежутке [0; 1]
.
По формуле (10.3.5)
График функции распределения изображён на рис. 10.4.3.
Тема: Математическое ожидание
11. Числовые характеристики случайной величины
Полная характеристика случайной величины дается её распределением вероятностей. Однако в ряде случаев таблицы или плотности распределения точно не известны, расчёты с ними часто бывают сложны или громоздки. Ряд практически важных задач можно решить с помощью немногих осреднённых характеристик распределения. Среди таких числовых характеристик особенно большую роль играют:
1. Математическое ожидание (среднее значение случайной величины, expectation, expected value, mean). Обозначается М(Х) или МХ.
2. Дисперсия (variance). Обозначается D(X) или DX.
3. Среднее
квадратическое отклонение (с.к.о.,
стандарт, standard
deviation).
Обозначается
или
.
Эти числовые характеристики определяются однозначно по распределению самой случайной величины или по известным числовым характеристикам более простых случайных величин с помощью свойств математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, которые будут доказаны ниже.
11.1. Определение математического ожидания
дискретной случайной величины
Название «математическое ожидание» происходит от понятия «ожидаемого значения выигрыша», впервые появившегося в теории азартных игр и трудах Б.Паскаля и Х.Гюйгенса в XVII в. Термин «математическое ожидание» (espérance mathématique) ввёл П.Лаплас в 1795 г. В полной мере это понятие было оценено и использовано П.Л.Чебышёвым в середине XIX века.
Пусть N раз повторяется испытание, с которым связана дискретная случайная величина, представляемая приведённым ниже рядом распределения.
Априори:
(*) |
х1 |
х2 |
…………… |
(*) |
p |
p1 |
p2 |
…………… |
pn |
Эта случайная
величина имеет п
различных возможных значений. В результате
N
испытаний
случайная величина Х
примет
раз значение x1;
раз значение x2;
…,
раз значение xn,
причём
абсолютные
частоты).
Апостериори:
(*) |
х1 |
х2 |
…………… |
хn |
k |
m1 |
m2 |
…………… |
mn |
Общая сумма значений случайной величины Х в результате N испытаний (например, сколько выпало очков за всю игру) выражается суммой
а среднее значение случайной величины получим, если указанную сумму произведений разделим на число испытаний, т.е.
.
Каждое из отношений
представляет собой относительную
частоту наступления события
:
.
Согласно закону
больших чисел (по теореме Я.Бернулли)
при достаточно большом количестве
испытаний N
практически достоверно, что относительная
частота
будет как угодно мало отличаться от
вероятности соответствующего события,
т.е.
.
Следовательно,
(11.1.1)
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений её возможных значений на соответствующие им вероятности:
(11.1.2)
Если последовательность
возможных значений случайной величины
бесконечна, то математическое ожидание
понимается как сумма бесконечного ряда
при условии, что этот ряд абсолютно
сходится (известно, что переставлять
слагаемые можно только в абсолютно
сходящихся рядах).
Пример.
(*) |
1 |
2 |
3 |
р |
0,1 |
0,2 |
0,7 |
.