Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
комбинаторика.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
2.14 Mб
Скачать

10.3. Связь между плотностью и функцией распределения

Если известна функция распределения F(x), то по определению

Обратно, если известна плотность f(x), то

. (10.3.1)

Замечание. Если все значения непрерывной случайной величины сосредоточены на промежутке , то следует воспользоваться свойством 4 функции распределения:

при x a =0, а при x>b F(x)=1.

В этом случае формулу (10.3.1) нужно применять только на промежутке , причём нижний предел интеграла будет равен не минус бесконечности, а числу а:

. (10.3.4)

В данном случае функция распределения будет кусочно-заданной:

(10.3.5)

10.4. Примеры непрерывных случайных величин, заданных плотностью

Пример 1. Плотность распределения случайной величины Х задана формулой:

(распределение Коши, рис.10.4.1). Построить график плотности; найти вероятность того, что случайная величина Х попадёт на участок (-1; 1); найти функцию распределения.

Решение. Графиком является локон Аньези. По формуле (10.1.2)

.

(см. пример 3 параграфа 9.3).

Рис. 10.4.1 Рис. 10.4.2

Пример 2. Случайная величина Х подчинена закону распределения, плотность которого задана графически на рис. 10.4.2. Написать аналитическое выражение для плотности распределения, найти функцию распределения.

По графику видно, что прямая, ограничивающая заштрихованную фигуру сверху, проходит через начало координат; плотность сосредоточена на отрезке [0; 1]. Имеем:

Пользуясь свойством 4 плотности и формулой (10.1.5), находим:

Таким образом,

Найдём функцию распределения. Согласно формуле (10.3.4) на промежутке [0; 1]

.

По формуле (10.3.5)

График функции распределения изображён на рис. 10.4.3.

Тема: Математическое ожидание

11. Числовые характеристики случайной величины

Полная характеристика случайной величины дается её распределением вероятностей. Однако в ряде случаев таблицы или плотности распределения точно не известны, расчёты с ними часто бывают сложны или громоздки. Ряд практически важных задач можно решить с помощью немногих осреднённых характеристик распределения. Среди таких числовых характеристик особенно большую роль играют:

1. Математическое ожидание (среднее значение случайной величины, expectation, expected value, mean). Обозначается М(Х) или МХ.

2. Дисперсия (variance). Обозначается D(X) или DX.

3. Среднее квадратическое отклонение (с.к.о., стандарт, standard deviation). Обозначается или .

Эти числовые характеристики определяются однозначно по распределению самой случайной величины или по известным числовым характеристикам более простых случайных величин с помощью свойств математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, которые будут доказаны ниже.

11.1. Определение математического ожидания

дискретной случайной величины

Название «математическое ожидание» происходит от понятия «ожидаемого значения выигрыша», впервые появившегося в теории азартных игр и трудах Б.Паскаля и Х.Гюйгенса в XVII в. Термин «математическое ожидание» (espérance mathématique) ввёл П.Лаплас в 1795 г. В полной мере это понятие было оценено и использовано П.Л.Чебышёвым в середине XIX века.

Пусть N раз повторяется испытание, с которым связана дискретная случайная величина, представляемая приведённым ниже рядом распределения.

Априори:

(*)

Х

х1

х2

……………

(*)

хn

p

p1

p2

……………

pn

Эта случайная величина имеет п различных возможных значений. В результате N испытаний случайная величина Х примет раз значение x1; раз значение x2; …, раз значение xn, причём

абсолютные частоты).

Апостериори:

(*)

Х

х1

х2

……………

хn

k

m1

m2

……………

mn

Общая сумма значений случайной величины Х в результате N испытаний (например, сколько выпало очков за всю игру) выражается суммой

а среднее значение случайной величины получим, если указанную сумму произведений разделим на число испытаний, т.е.

.

Каждое из отношений представляет собой относительную частоту наступления события :

.

Согласно закону больших чисел (по теореме Я.Бернулли) при достаточно большом количестве испытаний N практически достоверно, что относительная частота будет как угодно мало отличаться от вероятности соответствующего события, т.е. .

Следовательно,

(11.1.1)

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений её возможных значений на соответствующие им вероятности:

(11.1.2)

Если последовательность возможных значений случайной величины бесконечна, то математическое ожидание понимается как сумма бесконечного ряда при условии, что этот ряд абсолютно сходится (известно, что переставлять слагаемые можно только в абсолютно сходящихся рядах).

Пример.

(*)

Х

1

2

3

р

0,1

0,2

0,7

.