
- •1. Элементы комбинаторики.
- •1.1. Перестановки
- •1.2. Перестановки с повторениями
- •1.3. Размещения
- •1.4. Размещения с повторениями (с возвратом)
- •1.5. Сочетания
- •1.6. Сочетания с повторениями (с возвратом)
- •1.7. Обобщение
- •2. Случайные события
- •2.1. Испытания и события
- •2.2. Виды случайных событий
- •2.3. Пространство элементарных событий
- •2.4. Операции над событиями
- •Событие
- •9. Полная группа событий. Совокупность событий называется полной группой событий, если:
- •2.5. Свойства операций над событиями
- •3.1 Относительная частота событий
- •3.2. Свойства относительной частоты
- •3.3. Статистическая устойчивость частот
- •3.4. Формулировка аксиом Колмогорова.
- •3.5. Следствия из аксиом
- •4.1. Вычисление вероятностей событий
- •4.2. Задача о выборке
- •4.3. Геометрический подход к вероятности
- •5. Сложение и умножение вероятностей
- •5.1. Сложение вероятностей
- •5.2. Независимые и зависимые события
- •5.3. Условная вероятность
- •5.4. Умножение вероятностей
- •5.5. Свойства условных вероятностей
- •5.6. Независимость нескольких событий
- •5.7. Независимость противоположных событий
- •5.8. Вероятность появления хотя бы одного события
- •5.9. Применение теорем сложения и умножения для решения задач
- •6. Вероятность гипотез
- •6.1.Формула полной вероятности
- •6.2. Переоценка вероятности гипотез. Формула Байеса (Бейеса)
- •7. Серии независимых испытаний
- •7.1. Формула Бернулли
- •7.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •7.3. Свойства функции (х).
- •7.3. Функция Лапласа
- •7.4. Интегральная теорема Лапласа
- •7.5. Закон больших чисел в форме Бернулли
- •7.6. Формула Пуассона
- •8. Случайные величины
- •8.1. Дискретные случайные величины
- •8.2. Характеристическая случайная величина (индикатор события)
- •8.3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
- •8.4. Распределение Пуассона
- •8.5. Гипергеометрическое распределение
- •9. Непрерывные случайные величины
- •9.1. Функция распределения (интегральная функция распределения)
- •9.2. Свойства функции распределения
- •9.3. Примеры функций распределения
- •10. Плотность распределения
- •10.1. Свойства плотности распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения.
- •10.3. Связь между плотностью и функцией распределения
- •10.4. Примеры непрерывных случайных величин, заданных плотностью
- •11. Числовые характеристики случайной величины
- •11.1. Определение математического ожидания
- •11.2. Определение математического ожидания
- •11.3. Смысл математического ожидания
- •11.4. Арифметические операции со случайными величинами
- •11.4.1. Постоянная случайная величина
- •11.4.2. Произведение случайных величин
- •11.4.3. Сумма случайных величин
- •11.4.4. Разность случайных величин
- •11.5. Свойства математического ожидания
- •11.6. Отклонение случайной величины
- •12.1. Дисперсия Для общего представления о распределении случайной величины важное значение имеет не только её математическое ожидание, но и разброс её возможных значений.
- •12.2. Определение дисперсии
- •12.3. Механический смысл дисперсии
- •12.4. Сокращённая формула для вычисления дисперсии
- •12.5. Свойства дисперсии
- •12.6. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)
- •12.7. Числовые характеристики основных дискретных распределений
- •12.7.1. Индикатор события
- •12.7.2. Биномиальное распределение
- •12.7.3. Распределение Пуассона
- •12.7.4. Гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение.
- •13.1. Равномерное распределение
- •13.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •13.2.1. Функция надёжности
10. Плотность распределения
(дифференциальная функция распределения)
Другим видом функциональной зависимости между возможными значениями случайной величины и вероятностями их принятия является плотность распределения. Понятие плотности распределения имеет смысл только для непрерывных случайных величин, т.е. имеющих непрерывную и кусочно-дифференцируемую интегральную функцию распределения.
Определение. Плотностью распределения, или дифференциальной функцией распределения называется производная от интегральной функции распределения:
(10.1)
Если F(x) непрерывно дифференцируема, то плотность непрерывна, если F(x) кусочно-дифференцируема, то плотность может иметь разрывы первого рода (в точках разрыва производной).
10.1. Свойства плотности распределения
1.
для любого х(;
+).
Доказательство.
По определению
По свойству 2 функции распределения
F(x)
неубывающая
2.
Вероятность попадания возможного
значения случайной величины Х
в заданный промежуток
Р(a X<b)=
. (10.1.2)
Замечание.
Из свойства 7 функции распределения
(формула (9.2.8)) следует, что для непрерывной
случайной величины Х
вероятность попадания в произвольный
интервал
(угловые скобки означают, что концы
интервала могут входить или не входить
в интервал) находится из соотношения
.
3.
(10.1.4)
Доказательство. Положим в равенстве (10.1.2) a=, b=+. Тогда
С другой стороны, есть достоверное событие, следовательно
Р()=1.
Сравнивая правые части этих равенств, получим (10.1.4).
|
|
Рис. 10.1.2 Рис. 10.1.3 |
Геометрически равенство (10.1.4) означает, что площадь всего подграфика от до + равна 1 (рис. 10.1.2).
Замечание. Равенство (10.1.4) является необходимым и достаточным условием того, чтобы неотрицательная функция f (x) являлась плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины.
Следствие.
Если плотность
сосредоточена
на промежутке
,
т.е. вне промежутка f(x)=0
(рис. 10.1.3), то
(10.1.5)
В данном случае площадь подграфика от а до b равна 1.
Вероятностный смысл плотности распределения.
Физический аналог плотности
Найдём вероятность попадания возможного значения непрерывной случайной величины в малый интервал х=хх0. По формуле (9.2.7) (свойство 5 функции распределения)
(10.2.1)
Разделим обе части этого равенства на х:
Левая
часть этой формулы представляет собой
долю вероятности
,
соответствующую единице измерения
длины отрезка х,
т.е. плотность
этой вероятности на х,
или «удельную»,
«погонную» вероятность.
С другой стороны, из курса дифференциального исчисления известно, что
А
это по определению и есть плотность
вероятности (в точке
).
Таким образом, плотность можно интерпретировать как вероятность попадания возможного значения случайной величины в бесконечно малый промежуток, делённую на длину этого промежутка.
Проведём более строгие рассуждения. Рассмотрим равенство (10.2.1). По теореме Лагранжа
,
где
.
При
достаточно малом х
,
.
Запишем этот результат для любой точки х, учитывая, что х=dx:
.
а
точнее,
.
Если проинтегрируем эту полоску по любому промежутку , то получим вероятность попадания в этот промежуток (свойство 2 плотности). При интегрировании по всей числовой оси получим единицу (свойство 3).
Замечание.
Во всех
расчётах с непрерывными случайными
величинами дифференциал вероятности
f (x)dx,
равный
играет ту же роль, какую играют вероятности
pi
при расчётах с дискретными случайными
величинами. Чтобы от формулы для
дискретных величин перейти к формуле
для непрерывных величин, во многих
формулах достаточно будет заменить pi
на f (x)dx
и сумму – соответствующим интегралом.
Физическая аналогия плотности распределения – линейная плотность распределения вещества по линии. Известно, что размерность линейной плотности равна кг/м. Пусть имеется бесконечная прямая или отрезок прямой, масса которого равна единице. Из физики известно, что в каждой точке этой прямой плотность вещества определяется следующим образом:
Масса
отрезка длиной
равна
.
Просматривается аналогия между массой и функцией распределения вероятности, между линейной плотностью вещества и плотностью вероятности.