9.3. Примеры функций распределения

Пример 1. Функция распределения случайной величины Х задана аналитически следующим образом:

Построить график и найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в промежутке [0,1).

Решение. По формуле (9.2.5)

Геометрически это означает длину отрезка F(1)F(0) на оси ординат (рис.9.3.1). По виду графика и по аналитическому выражению функции распределения можно определить, что значения случайной величины Х сосредоточены на промежутке [-1; 2). Кроме того, видно, что F(х) является непрерывной и кусочно-дифференцируемой функцией. В точках -1 и 2 функция не дифференцируема. На оси ординат отмечена вероятность попадания случайной величины в промежуток [0,1).

Пример 2. Случайная величина Х  проекция радиус-вектора случайной точки окружности радиуса а на диаметр  имеет функцию распределения (закон арксинуса, рис.9.3.2,а):

а)		б)
Рис.9.3.2

Построить график и найти вероятность того, что Х окажется в пределах промежутка .

Решение. Здесь значения случайной величины сосредоточены на промежутке (-а; а) (рис.9.3.2,б).  это угол, отсчитываемый вправо и влево от оси ординат. Рассмотрим функцию распределения в нескольких точках, изображенных на чертеже.

а)

(все значения случайной величины сосредоточены на ).

б)

(левая половина окружности).

с)

(слева ¾ окружности).

d) .

По формуле (9.2.5)

В промежуток могут попасть точки дуг FE и HG, каждая из которых содержит 60°, в сумме 120° (2/3 радиан). Геометрически эта вероятность тоже равна .

Пример 3. .

Построить график. Найти вероятность попадания случайной величины в промежутки и .

Здесь возможные значения Х, т.е. принимают любые действительные значения. Как известно, Тогда Кроме того, из аналитического задания функции следует, что . График приведен на рис. 9.3.3.

.

.

В предыдущих примерах рассматривались непрерывные случайные величины. Однако интегральная функция распределения имеет смысл и для дискретной случайной величины.

Пример 4. Построить функцию распределения для характеристической случайной величины _k (индикатора события).

k	0	1
p	q	p

Закон распределения _k:

Выясним значения функции распределения на различных участках числовой оси.

1) Вероятность того, что _k примет значение, меньшее 0, т.е. попадёт в промежуток (; х), равна 0 (см. таблицу распределения) 

Р(_k <x)=P(<_k <x)=F(x)=0.

2) 0<x1. Случайная величина может принять только одно возможное значение, меньшее х, из этого промежутка: _k =0. Вероятность этого события равна

q  F(x)=q.

3) 1<x. Все значения случайной величины _k (0 и 1) меньше любого х из этого промежутка  событие _k <x для этих х является достоверным,

Р(_k <x)=1.

Функция распределения аналитически может быть записана так:

На рис. 9.3.4 показан график интегральной функции распределения. График можно построить быстрее, если воспользоваться свойством 4. Для индикатора события возможные значения случайной величины, а именно 0 и 1, сосредоточены на промежутке [0, 1]  для x<0 F(x)=0, для x>1 F(x)=1. Легко проверить, что для такой функции выполняются все свойства функции распределения. Особо отметим свойство 3 – непрерывность слева, что наглядно выражено на графике.

Функция распределения дискретной случайной величины не является элементарной функцией. Это – ступенчатая функция, имеющая конечное или бесконечное (счётное) число разрывов первого рода. Такие функции называются кусочно-постоянными.

Пример 5. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4 (например, три выстрела по мишени, А  попадание при одном выстреле). Рассматривается случайная величина Х – число появлений события А в трёх опытах. Построить ряд распределения и функцию распределения.

Случайная величина Х имеет биномиальное распределение. Для построения ряда распределения вычислим вероятности по формуле Бернулли:

и.т.д.

хi	0	1	2	3
pi	0,216	0,432	0,288	0,064

Для x<0 и x>3 сразу напишем значения F(x):

F(x)=0 для x<0 и F(x)=1 для x>3, т.к. все возможные значения сосредоточены на промежутке [0; 3]. Разобьём оставшийся промежуток на части:

1) .

2) Возможные значения Х, меньшие х из этого промежутка, равны 0 или 1.

₃₎

.

Таким образом,

График функции распределения приведён на рис.9.3.5. Рис.9.3.5

Тема: Плотность распределения