
- •1. Элементы комбинаторики.
- •1.1. Перестановки
- •1.2. Перестановки с повторениями
- •1.3. Размещения
- •1.4. Размещения с повторениями (с возвратом)
- •1.5. Сочетания
- •1.6. Сочетания с повторениями (с возвратом)
- •1.7. Обобщение
- •2. Случайные события
- •2.1. Испытания и события
- •2.2. Виды случайных событий
- •2.3. Пространство элементарных событий
- •2.4. Операции над событиями
- •Событие
- •9. Полная группа событий. Совокупность событий называется полной группой событий, если:
- •2.5. Свойства операций над событиями
- •3.1 Относительная частота событий
- •3.2. Свойства относительной частоты
- •3.3. Статистическая устойчивость частот
- •3.4. Формулировка аксиом Колмогорова.
- •3.5. Следствия из аксиом
- •4.1. Вычисление вероятностей событий
- •4.2. Задача о выборке
- •4.3. Геометрический подход к вероятности
- •5. Сложение и умножение вероятностей
- •5.1. Сложение вероятностей
- •5.2. Независимые и зависимые события
- •5.3. Условная вероятность
- •5.4. Умножение вероятностей
- •5.5. Свойства условных вероятностей
- •5.6. Независимость нескольких событий
- •5.7. Независимость противоположных событий
- •5.8. Вероятность появления хотя бы одного события
- •5.9. Применение теорем сложения и умножения для решения задач
- •6. Вероятность гипотез
- •6.1.Формула полной вероятности
- •6.2. Переоценка вероятности гипотез. Формула Байеса (Бейеса)
- •7. Серии независимых испытаний
- •7.1. Формула Бернулли
- •7.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •7.3. Свойства функции (х).
- •7.3. Функция Лапласа
- •7.4. Интегральная теорема Лапласа
- •7.5. Закон больших чисел в форме Бернулли
- •7.6. Формула Пуассона
- •8. Случайные величины
- •8.1. Дискретные случайные величины
- •8.2. Характеристическая случайная величина (индикатор события)
- •8.3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
- •8.4. Распределение Пуассона
- •8.5. Гипергеометрическое распределение
- •9. Непрерывные случайные величины
- •9.1. Функция распределения (интегральная функция распределения)
- •9.2. Свойства функции распределения
- •9.3. Примеры функций распределения
- •10. Плотность распределения
- •10.1. Свойства плотности распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения.
- •10.3. Связь между плотностью и функцией распределения
- •10.4. Примеры непрерывных случайных величин, заданных плотностью
- •11. Числовые характеристики случайной величины
- •11.1. Определение математического ожидания
- •11.2. Определение математического ожидания
- •11.3. Смысл математического ожидания
- •11.4. Арифметические операции со случайными величинами
- •11.4.1. Постоянная случайная величина
- •11.4.2. Произведение случайных величин
- •11.4.3. Сумма случайных величин
- •11.4.4. Разность случайных величин
- •11.5. Свойства математического ожидания
- •11.6. Отклонение случайной величины
- •12.1. Дисперсия Для общего представления о распределении случайной величины важное значение имеет не только её математическое ожидание, но и разброс её возможных значений.
- •12.2. Определение дисперсии
- •12.3. Механический смысл дисперсии
- •12.4. Сокращённая формула для вычисления дисперсии
- •12.5. Свойства дисперсии
- •12.6. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)
- •12.7. Числовые характеристики основных дискретных распределений
- •12.7.1. Индикатор события
- •12.7.2. Биномиальное распределение
- •12.7.3. Распределение Пуассона
- •12.7.4. Гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение.
- •13.1. Равномерное распределение
- •13.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •13.2.1. Функция надёжности
9.2. Свойства функции распределения
1. Все значения функции распределения заключены в промежутке от 0 до 1, т.е.
. (9.2.1)
Доказательство. По определению функция распределения есть вероятность, а по аксиоме 1 она находится в промежутке от 0 до 1. Таким образом, график функции распределения должен находиться в полосе от 0 до 1 по оси ординат.
Заметим также, что функция распределения безразмерна, как и всякая вероятность.
2.
есть неубывающая функция, т.е. если
х1<x2,
то
Доказательство.
Пусть х1<x2.
Событие (Х<x2)
представляет собой объединение (сумму)
событий (Х<x1)
и (
)
(рис.9.2.1). В силу несовместности этих
событий
(9.2.2)
Рис.9.2.1
Т.к. второе слагаемое неотрицательно как всякая вероятность, то
т.е.
,
ч.т.д.
Замечание. Свойство 2 очевидно, т.к. при увеличении промежутка за счёт сдвига его правого конца вправо вероятность попадания в этот промежуток может только увеличиться или остаться прежней.
3.
– непрерывная слева функция. Это
означает, что в любой точке х0
существует левосторонний предел
.
Доказательство.
Согласно определению, число А
называется левосторонним пределом
функции
в точке х0,
если для любой сходящейся последовательности
,
все члены которой меньше х0,
соответствующая последовательность
сходится
к А:
.
Покажем, что последовательность
сходится к
.
Выберем какую-нибудь возрастающую
последовательность
,
сходящуюся к х0
(например,
или
,
при увеличении п
хп
стремится к х0).
Рассмотрим событие
,
т.е. попадание случайной величины в
промежуток
.
Положим в формуле (9.2.2)
.
Тогда
,
.
Перейдём к пределу при п:
;
(9.2.3)
Длина
промежутка
при
стремится к нулю, вероятность попадания
возможного значения случайной величины
в этот промежуток также стремится к
нулю:
.
Левая
часть равенства (9.2.3) равна 0
.
Это и означает, что
.
4.
Если случайная величина может принимать
только значения из промежутка
,
т.е. случайная величина сосредоточена
на промежутке
,
то при x a =0, а при x>b F(x)=1.
Доказательство. Действительно, при x a событие (X<x) невозможно (рис.9.2.2),
P(X<x)= =0;
при x>b событие (X<x) достоверное P(X<x)= =1, ч.т.д.
Следствие. В общем случае, если значения случайной величины , то
F()=0; F(+)=1.
Доказательство. Событие X< невозможное Р(X<)=F()=0.
Событие X<+ достоверное, поэтому Р(X<+)=F(+)=1, ч.т.д.
Более строго эти равенства можно записать так:
(9.2.4)
Замечание. Исходя из свойств 1..4, можно построить примерный график функции распределения. Используем то, что F(x) находится в полосе от 0 до 1, неубывающая, непрерывна слева, на стремится к 0, а на + к 1. При этом могут получиться такие кривые, как на рисунках 9.2.3,а,б и 9.2.4:
а) |
б) |
|
|
|
|
Рис.9.2.3 |
5.
Вероятность
попадания случайной величины в заданный
промежуток
равна приращению функции распределения
на этом промежутке:
(9.2.5)
Геометрически правая часть этого равенства означает длину отрезка F(b)F(a) на оси ординат (рис.9.2.4,б).
Доказательство.
Положим в равенстве (9.2.2)
:
,
или
,
откуда следует равенство (9.2.5).
Другое определение непрерывной случайной величины
Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция.
Вспомним, что кусочная дифференцируемость означает, что функция состоит из частей, которые являются непрерывно дифференцируемыми, т.е. имеют непрерывную производную. Если график F(x) представляет собой гладкую кривую, без изломов, то функция является дифференцируемой во всей области определения. Если график не имеет разрывов, но имеет изломы (рис.9.2.4,а), то функция кусочно-дифференцируема. В точках излома производная не существует, в этих точках нельзя провести единственную касательную.
a) |
б) |
|
|
Рис.9.2.4 |
Если функция распределения на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы (рис.9.2.3,б), то случайная величина называется смешанной. Например, функция распределения случайной величины времени Т безотказной работы прибора, испытываемого в течение времени t непрерывна всюду, кроме точки t. Смешанная случайная величина S площадь разрушений, наносимых цели бомбой, имеет разрывную функцию распределения.
6.. Если Х – непрерывная случайная величина, то (априорная) вероятность того, что она примет данное конкретное значение, равна нулю:
(9.2.6)
Замечание. То, что вероятность Р(Х=х0)=0, не означает, что данное событие невозможно. Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений, в частности, это значение может оказаться равным х0. Следовательно, нулевой вероятностью могут обладать не только невозможные, но и возможные события, т.е.
,
но
.
Представление о возможном событии с нулевой вероятностью не более парадоксально, чем представление о длине точки. Известно, что длина одной точки равна нулю, тем не менее, длина отрезка, состоящего из многих точек, не равна нулю.
Пример 1. Вероятность того, что выточенная деталь примет строго заданные размеры, равна 0. На практике значение любой физической величины можно измерить лишь с некоторой точностью, а абсолютно точное значение физической величины есть лишь математическая абстракция. Однако можно определить вероятность того, что размеры деталей не выйдут за дозволенные границы.
7. Обобщение свойства 5 для непрерывной случайной величины.
.
(9.2.8)