9. Непрерывные случайные величины

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если она может принять любое значение из некоторого промежутка (конечного или бесконечного).

Между любыми двумя возможными значениями х₁ и х₂ непрерывной случайной величины всегда располагается бесчисленное (несчётное) множество других ее возможных значений.

Пример 9.1. Промежуток времени между двумя грозовыми разрядами – непрерывная случайная величина.

Существуют также смешанные случайные величины. Они обладают свойствами и дискретных, и непрерывных величин. В качестве примера смешанной величины S можно привести площадь разрушений, наносимых цели (например, городу) бомбой, радиус разрушительного действия которой равен R (рис.9.1). Значения этой случайной величины непрерывно заполняют промежуток от 0 до R², но при этом крайние значения промежутка 0 и R², осуществляющиеся при положениях бомбы типа I и II, обладают определённой конечной вероятностью: при положении I , при положении II , и S обладает свойствами дискретной случайной величины. В промежуточных значениях (положение типа III) случайная величина непрерывна, её возможные значения находятся в промежутке .

Для непрерывных случайных величин нельзя составить ряд распределения, но можно задать функциональную зависимость между каждым значением случайной величины и вероятностью, с которой она принимается. Эту зависимость можно изобразить на плоскости в виде графика (а не полигона, как в случае дискретных случайных величин).

9.1. Функция распределения (интегральная функция распределения)

Рис.9.1.1.

Рассмотрим некоторую случайную величину Х (дискретную или непрерывную), событие (Х<x) (т.е. возможное значение случайной величины меньше действительного числа х) и вероятность этого события Р(Х<x) (рис.9.1.1).

Каждому значению х соответствует один и только один промежуток (х, а каждому такому промежутку – одно и только одно событие (Xx), или (Х<x). Вероятность этого события равна Р(Xx)=Р(Х<x), следовательно, каждому значению действительного числа х соответствует одно и только одно значение вероятности Р(Х<x).

Таким образом, между х и Р(Х<x) существует функциональная зависимость, т.е. на множестве вещественных чисел задана некоторая функция х. Обозначим её F(x). В символьном виде:

.

Определение. Функцией распределения, или интегральной функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что Х примет значение, меньшее х:

F(x)= Р(Х<x). (9.1.1)

Функция распределения случайной величины Х позволяет однозначно задать вероятности всех событий, относящихся к её возможным значениям (например, событие: возможное значение случайной величины ). С помощью функции распределения можно задавать распределения случайных величин, множество возможных значений которых нельзя записать в виде последовательности, например, если это множество значений является отрезком, лучом или всей числовой осью. Таким образом, в отличие от дискретной случайной величины рассматривается не вероятность равенства Р(Х=х), а вероятность неравенства Р(Х<x).