8.4. Распределение Пуассона

В некоторых задачах физики и техники встречаются случайные величины, подчинённые закону распределения Пуассона. Закону распределения Пуассона подчиняются, например, количество вызовов на автоматической телефонной станции за данный промежуток времени; количество электронов, вылетающих с накалённого катода за данный промежуток времени.

Сделаем важное допущение: произведение np сохраняет постоянное значение, равное . Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях n, остаётся неизменным. Действительно, вероятность приближенно равна относительной частоте: т.е.  приближённо равна абсолютной частоте.

Определение. Случайная величина Х называется распределённой по закону Пуассона с параметром =np, если она принимает значения k=0,1,2,… с вероятностями

(8.4.1)

Составим ряд распределения случайной величины Х:

Х	0	1	2	3	…	N	…
р					…		…

Найдём сумму вероятностей:

(в скобках получилось разложение функции е^ в ряд Маклорена).

Распределение Пуассона полностью определяется одним параметром  и обладает удобными аналитическими свойствами. Например, сумма двух независимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона с параметрами  и , имеет распределение Пуассона с параметром  и используется при построении математических моделей различных случайных процессов. Применяется для описания редких событий.

Пример 1. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Построить ряд распределения и полигон случайной величины Х – количества изделий из 5000, не выдержавших испытания.

=50000,001=5.

Р(Х=0)=0,0067 Р(Х=4)=0,1755 Р(Х=8)=0,0653

Р(Х=1)=0,0337 Р(Х=5)=0,1755 Р(Х=9)=0,0363

Р(Х=2)=0,0842 Р(Х=6)=0,1462 Р(Х=10)=0,0181

Р(Х=3)=0,1404 Р(Х=7)=0,1044 Р(Х=11)=0,0082

Р(Х=12)=0,0034.

Кривые (полигоны), вычисленные с помощью биномиального распределения и распределения Пуассона, практически совпадают. Приведём значения вероятностей, вычисленных по биномиальному закону.

р=0,001; q=0,999; n=5000. По формуле (8.3.2)

Данное совпадение и должно иметь место, т.к. при больших п, т.к.



Распределение Пуассона впервые было исследовано французским ученым С.Пуассоном в 1837 г.

8.5. Гипергеометрическое распределение

Мы уже рассматривали задачу о выборке без возвращения. . Она определяется тремя параметрами: N – число всех объектов, М – число объектов, обладающих признаком у, n – число объектов в выборке (объём выборки). Пусть m – число объектов в выборке, обладающих признаком у, – переменно. Вероятность того, что в выборке находится ровно m объектов, обладающих признаком у, определяется по формуле

(8.5.1)

Теперь будем рассматривать случайную величину Х, принимающую возможные значения m. Здесь возможны 2 случая.

1. .

Определение. Дискретная случайная величина X называется распределённой по гипергеометрическому закону с параметрами N, M и n, если она принимает возможные значения m=0, 1, 2,…, k, где k=min (n, M), с вероятностями, вычисляемыми по формуле (8.5.1).

Максимальное количество особых объектов в выборке ограничено либо числом объектов в выборке (объёмом выборки), либо всем количеством особых объектов М.

Пример 1. Среди 5 изделий 2 бракованных. Найти распределение случайной величины X: количество бракованных изделий в выборке из 3 изделий.

Решение. . Ясно, что бракованных изделий может быть 0, 1 или 2, что согласуется с определением данной дискретной величины. Построим ряд распределения.

Х	0	1	2
p	0,1	0,6	0,3

Искомое распределение показано в виде таблицы: Полигон распределения изображён на рис.8.5.1.

2. .

В этом случае значения т начинаются не с нуля, а с числа . в остальном определение такое же.

Пример 2. Среди 6 изделий 4 бракованных. Найти распределение случайной величины X: количество бракованных изделий в выборке из 5 изделий.

Решение. .

Начинаем с = .

Бракованных изделий может быть 3 или 4. Поэтому случайная величина Х может принять только два возможных значения. Найдём их вероятности.

Х	3	4
p	2/3	1/3

Замечание. Иногда в качестве параметров гипергеометрического распределения рассматривают N, n и р=M/N, где р – вероятность того, что первый извлечённый объект обладает признаком у.

Пример 3. В урне 16 шаров, из них несколько чёрных. Извлекаются наудачу 5 шаров. Найти распределение случайной величины Х – количества чёрных шаров в выборке из 5 шаров, если первоначально чёрных шаров в урне: а) 4; б) 12; в) 8.

а) N=16, M=4, n=5; 5<16–4; т=0, 1, 2, 3, 4.

; и т.д.

Х	0	1	2	3	4
р	0,181	0,453	0,302	0,060	0,003

б) N=16, M=12, n=5; 5>16–4; т=5– (16–12)=1, 2, 3, 4, 5.

Х	1	2	3	4	5
р	0,003	0,060	0,302	0,453	0,181

Видно, что ряд вероятностей в случае б) является зеркальным отражением ряда вероятностей в случае а). Здесь невозможным является событие (Х0), т.к. нечёрных шаров всего 4, а в выборке 5 шаров.

в) N=16, M=8, n=5; 5<16–8; т=0, 1, 2, 3, 4, 5.

Х	0	1	2	3	4	5
р	0,013	0,128	0,359	0,359	0,128	0,013

В этом случае вторая строка таблицы обладает симметрией, т.к. чёрных шаров в урне ровно половина.

На рис. 8.5.2 (а, б, в) показаны соответствующие полигоны распределения случайной величины Х.

Если n значительно меньше N (n < 0,1 N) (выборка небольшая), то выборка без возвращения приближается к выборке с возвращением и гипергеометрическое распределение мало отличается от биномиального. Вероятность выбора объекта, обладающего признаком у, приближается к (к вероятности того, что первый извлечённый объект обладает признаком у). Тогда число параметров распределения уменьшается до двух: п и р, как в биномиальном распределении .

Еще надо рассказать про геометрическое распределение как частный случай гипергеометрического:

Тема: Непрерывные случайные величины