Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
комбинаторика.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
2.14 Mб
Скачать

8.2. Характеристическая случайная величина (индикатор события)

Рассмотрим серию испытаний по схеме Бернулли. Характеристическая случайная величина k – это число появлений события А при k-м испытании. Событие А может произойти в одном испытании либо 1 раз, либо ни разу (0 раз). Следовательно, величина k может принимать только два значения: 1, если событие А произойдет при k-м испытании, и 0, если событие А не произойдет при k-м испытании. Т.к. вероятность события А равна р в каждом испытании, то величины 1, 2,…, n имеют одинаковые таблицы распределения вероятностей:

1

0

1

p

q

р

2

0

1

p

q

р

……

k

0

1

p

q

р

……

n

0

1

p

q

р

Характеристическую случайную величину называют также индикатором события, т.к. она показывает, как ведёт себя событие А в каждом испытании (появляется или нет). Запишем значения этой случайной величины аналитически (в виде формулы):

(8.2.1)

Полигон индикатора события изображен на рис.8.2.1.

Рис.8.2.1

8.3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

Пример 1. Стрелок производит 2 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле =0,4. Построить ряд распределения числа попаданий при двух выстрелах.

Случайная величина Х – число попаданий. Эта случайная величина может принимать следующие возможные значения: х1=0, х2=1, х3=2. Вероятности вычислим по формуле Бернулли

(8.3.1)

для n=2, p=0,4, q=0,6:

Контроль: 0,36+0,48+0,16=1.

Ряд распределения будет иметь вид:

Х

0

1

2

p

0,36

0,48

0,16

Полигон распределения изображен на рис.8.3.1. Видно, что наиболее вероятно одно попадание из двух выстрелов.

Определение. Случайная величина X называется биномиально распределённой с параметрами n и р, если возможные значения k=0, 1,…, n она принимает с вероятностями Рn(k), задаваемыми формулой Бернулли:

Р(Х=k)= .

Биномиальное распределение полностью определяется двумя параметрами: n и р.

Применим бином Ньютона для суммы вероятностей р и q. При этом в правой части суммируются вероятности Рn(k):

. (8.3.4)

Таким образом, закон биномиального распределения имеет вид:

Х

0

1

…………

k

…………

n-1

n

p

qn

…………

…………

n

Из формулы (8.3.4) видно, что сумма второй строки таблицы равна 1 (т.к. p+q=1).