
- •1. Элементы комбинаторики.
- •1.1. Перестановки
- •1.2. Перестановки с повторениями
- •1.3. Размещения
- •1.4. Размещения с повторениями (с возвратом)
- •1.5. Сочетания
- •1.6. Сочетания с повторениями (с возвратом)
- •1.7. Обобщение
- •2. Случайные события
- •2.1. Испытания и события
- •2.2. Виды случайных событий
- •2.3. Пространство элементарных событий
- •2.4. Операции над событиями
- •Событие
- •9. Полная группа событий. Совокупность событий называется полной группой событий, если:
- •2.5. Свойства операций над событиями
- •3.1 Относительная частота событий
- •3.2. Свойства относительной частоты
- •3.3. Статистическая устойчивость частот
- •3.4. Формулировка аксиом Колмогорова.
- •3.5. Следствия из аксиом
- •4.1. Вычисление вероятностей событий
- •4.2. Задача о выборке
- •4.3. Геометрический подход к вероятности
- •5. Сложение и умножение вероятностей
- •5.1. Сложение вероятностей
- •5.2. Независимые и зависимые события
- •5.3. Условная вероятность
- •5.4. Умножение вероятностей
- •5.5. Свойства условных вероятностей
- •5.6. Независимость нескольких событий
- •5.7. Независимость противоположных событий
- •5.8. Вероятность появления хотя бы одного события
- •5.9. Применение теорем сложения и умножения для решения задач
- •6. Вероятность гипотез
- •6.1.Формула полной вероятности
- •6.2. Переоценка вероятности гипотез. Формула Байеса (Бейеса)
- •7. Серии независимых испытаний
- •7.1. Формула Бернулли
- •7.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •7.3. Свойства функции (х).
- •7.3. Функция Лапласа
- •7.4. Интегральная теорема Лапласа
- •7.5. Закон больших чисел в форме Бернулли
- •7.6. Формула Пуассона
- •8. Случайные величины
- •8.1. Дискретные случайные величины
- •8.2. Характеристическая случайная величина (индикатор события)
- •8.3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
- •8.4. Распределение Пуассона
- •8.5. Гипергеометрическое распределение
- •9. Непрерывные случайные величины
- •9.1. Функция распределения (интегральная функция распределения)
- •9.2. Свойства функции распределения
- •9.3. Примеры функций распределения
- •10. Плотность распределения
- •10.1. Свойства плотности распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения.
- •10.3. Связь между плотностью и функцией распределения
- •10.4. Примеры непрерывных случайных величин, заданных плотностью
- •11. Числовые характеристики случайной величины
- •11.1. Определение математического ожидания
- •11.2. Определение математического ожидания
- •11.3. Смысл математического ожидания
- •11.4. Арифметические операции со случайными величинами
- •11.4.1. Постоянная случайная величина
- •11.4.2. Произведение случайных величин
- •11.4.3. Сумма случайных величин
- •11.4.4. Разность случайных величин
- •11.5. Свойства математического ожидания
- •11.6. Отклонение случайной величины
- •12.1. Дисперсия Для общего представления о распределении случайной величины важное значение имеет не только её математическое ожидание, но и разброс её возможных значений.
- •12.2. Определение дисперсии
- •12.3. Механический смысл дисперсии
- •12.4. Сокращённая формула для вычисления дисперсии
- •12.5. Свойства дисперсии
- •12.6. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)
- •12.7. Числовые характеристики основных дискретных распределений
- •12.7.1. Индикатор события
- •12.7.2. Биномиальное распределение
- •12.7.3. Распределение Пуассона
- •12.7.4. Гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение.
- •13.1. Равномерное распределение
- •13.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •13.2.1. Функция надёжности
8.2. Характеристическая случайная величина (индикатор события)
Рассмотрим серию испытаний по схеме Бернулли. Характеристическая случайная величина k – это число появлений события А при k-м испытании. Событие А может произойти в одном испытании либо 1 раз, либо ни разу (0 раз). Следовательно, величина k может принимать только два значения: 1, если событие А произойдет при k-м испытании, и 0, если событие А не произойдет при k-м испытании. Т.к. вероятность события А равна р в каждом испытании, то величины 1, 2,…, n имеют одинаковые таблицы распределения вероятностей:
|
|
…… |
|
…… |
|
(8.2.1)
Полигон индикатора события изображен на рис.8.2.1.
Рис.8.2.1
8.3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
Пример 1. Стрелок производит 2 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле =0,4. Построить ряд распределения числа попаданий при двух выстрелах.
Случайная
величина Х
– число попаданий. Эта случайная величина
может принимать следующие возможные
значения: х1=0,
х2=1,
х3=2.
Вероятности вычислим по формуле Бернулли
(8.3.1)
для n=2, p=0,4, q=0,6:
Контроль: 0,36+0,48+0,16=1.
Ряд распределения будет иметь вид:
-
Х
0
1
2
p
0,36
0,48
0,16
Полигон распределения изображен на рис.8.3.1. Видно, что наиболее вероятно одно попадание из двух выстрелов.
Определение. Случайная величина X называется биномиально распределённой с параметрами n и р, если возможные значения k=0, 1,…, n она принимает с вероятностями Рn(k), задаваемыми формулой Бернулли:
Р(Х=k)=
.
Биномиальное распределение полностью определяется двумя параметрами: n и р.
Применим бином Ньютона для суммы вероятностей р и q. При этом в правой части суммируются вероятности Рn(k):
.
(8.3.4)
Таким образом, закон биномиального распределения имеет вид:
Х |
0 |
1 |
………… |
k |
………… |
n-1 |
n |
p |
qn |
|
………… |
|
………… |
n |
|
Из формулы (8.3.4) видно, что сумма второй строки таблицы равна 1 (т.к. p+q=1).