8.1. Дискретные случайные величины

Определение. Случайная величина Х называется дискретной, если все ее возможные значения образуют конечную или бесконечную последовательность чисел х₁, х₂,...,х_n,…и если принятие ею каждого из указанных значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Такие случайные события будем обозначать (X=х_i), а соответствующие им вероятности P(X=x_i).

Если взять два любых возможных значения случайной величины x_i и x_j, то между ними всегда будет находиться конечное число возможных значений (в том числе 0).

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения. Разные случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, но различные их вероятности.

В одном испытании по определению случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, следовательно, события (Х=х₁), (Х=х₂),…(Х=х_n), соответствующие всем возможным значениям, являются попарно несовместными и образуют полную группу, и вероятность их суммы равна 1. Но вероятность принятия случайной величиной каждого из этих возможных значений может быть различной, т.е. единица распределяется между этими возможными значениями по некоторому закону.

Законом распределения случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения можно задать в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде полигона).

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

(*) Х	х1	х2	……………	хn
p	p1	p2	……………	pn

Совокупность этих двух последовательностей называется рядом распределения дискретной случайной величины. Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице:

(8.1.1)

Если множество возможных значений Х бесконечно (счётно), то ряд

сходится и его сумма равна 1.

Распределение, задаваемое таблицей (*), будем обозначать также (x_i, p_i).

Пример 1. Число очков, выпадающее на игральной кости.

Х	1	2	3	4	5	6
p	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Заметим, что для неправильной игральной кости возможные значения числа очков остаются теми же, но вероятности их могут быть отличны от 1/6.

Пример 2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 50 руб. и 10 выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Х	50	1	0
p	0,01	0,1	0,89

Значение р₃=0,89 было найдено из условия (8.1.1).

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (x_i, p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником, или полигоном распределения (рис.8.1.1).

Рассмотрим наиболее важные виды дискретных случайных величин.

Рис.8.1.1