1.1. Перестановки

Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов. Иначе: Перестановки – это упорядоченные множества из п элементов. Число перестановок из п элементов обозначается Р_п.

Формула для определения числа всех перестановок:

(1.1.1)

Доказательство. Первый элемент можно выбрать n способами, 2-й – (n–1) способами, 3-й – (n–2) способами, последний  только одним способом. По правилу произведения

ч.т.д.

Пример 1. Сколькими способами можно расставить 5 судов у причальной стенки?

Пример 2. Сколькими способами можно рассадить 50 студентов по 50 местам аудитории?

Пример 3. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматном поле, чтобы они не били друг друга?

1.2. Перестановки с повторениями

Пусть некоторые из элементов повторяются (например, одинаковые буквы или цифры). Тогда внутри перестановки они могут образовывать свои перестановки, т.к. порядок одинаковых элементов не влияет на порядок внутри основной комбинации. Число перестановок основной комбинации будет уменьшаться во столько раз, каково значение каждой такой «малой» перестановки. Пусть, например, элемент А встречается k раз, элемент В – l раз,…, элемент Z – r раз. Тогда общее число перестановок с повторяющимися элементами

Замечание. Перестановки без повторений можно рассматривать как частный случай перестановок с повторениями. Рассмотрим множество А из п элементов , где i-й элемент ( ) повторяется раз, причем некоторые из могут быть равны 1. Тогда число перестановок с повторениями равно

Если все элементы встречаются в множестве А по одному разу, то получим формулу (1.1.1).

Пример 4. Сколько можно написать 7-значных чисел из цифр 1,1,2,2,2,3,3?

Если цифры не повторяются, то

1.3. Размещения

Размещениями из п элементов по элементов называются комбинации из элементов, которые отличаются друг от друга составом элементов и/или порядком их расположения. Иными словами, размещения  это упорядоченные подмножества из к элементов, выбранные из п-элементного множества. Число размещений обозначается (а из эн по ка).

Название «размещение» произошло от задачи: разместить предметов в п пронумерованных ячейках. Сколько последовательностей заполненных ячеек можно получить? Например, если имеются 3 ячейки и 2 предмета А и В, то получим следующую последовательность заполненных ячеек: (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2). Т.е. А помещаем в 1-ю ячейку, В – во вторую, и т.д. Таким образом, =6.

Формула для числа всех размещений из п элементов по элементов без повторений:

(1.2.1)

Доказательство. Для составления комбинации из к элементов

1-й элемент можно выбрать п способами,

2-й элемент можно выбрать способами,

3-й элемент можно выбрать способами,

……………………………………………..,

-й элемент можно выбрать способами

(мы заметили, что вычитаемое все время на единицу меньше номера элемента).

По правилу произведения всего способов ч.т.д.

Замечание 1. Частный случай размещения: k=n. Тогда и по определению размещения, и по формуле (1.2.1) получим перестановку .

Пример 1. В ящике 9 пронумерованных от 1 до 9 шаров. Наугад вынимаются 3 шара, при этом номер каждого шара записывается. Сколько различных трехзначных чисел можно при этом получить?

Здесь  последний множитель в произведении (1.2.1) равен 7 

.

Пример 2. Сколькими способами можно рассадить 50 студентов по 60 местам аудитории?

Замечание 2. Из формулы (1.2.1) можно получить другое выражение для вычисления размещений. Для этого умножим и разделим правую часть (1.2.1) на , а затем запишем множители числителя в обратном порядке:

(1.2.2)

.

Пример 3. Сколькими способами можно разместить 3 предмета А, В, С в 4 ячейках?

.