7.6. Формула Пуассона

Приведём еще одну приближённую формулу для вычисления , которая применяется в случае редких событий, т.е. когда число испытаний п в серии велико, а вероятность появления события А в одном испытании р мала. Примерами таких событий являются звонки отдельных абонентов на телефонную станцию, обрыв нити на ткацком станке, и т.д.

Сделаем важное допущение: число появлений события А в каждой серии испытаний остаётся постоянным, т.е. абсолютная частота m=const, следовательно, .

Теорема Пуассона. Пусть проводятся серии из n независимых испытаний, причем вероятность появления события А в одном испытании Р(А)=p_n>0 зависит от числа испытаний в серии n и стремится к нулю при n. Пусть, далее, для каждой серии среднее значение числа появлений события А постоянно, т.е.

np_n =const. (7.6.1)

Тогда при больших n вероятность появления события А в серии из n испытаний ровно k раз можно вычислить по формуле:

(7.6.2)

Эта формула называется формулой Пуассона.

Замечание 1.  абсолютная частота появления события А в серии из п испытаний.

Замечание 2. По условию теоремы чем больше п  число испытаний в серии, тем меньше вероятность р_п; р_п образуют последовательность вероятностей редких событий, .

Формулу Пуассона можно применять в случаях, когда число испытаний n велико, вероятность события А p_n=p мала (p<0,1), а =np «не мало и не велико» ( ). Чем меньше вероятность события (чем реже событие), тем больше должно быть число испытаний (например, выборок).

Например, 5 белых шаров находятся в урне, где всего шаров 100, 1000, и т.д. .

Другой пример. Пусть п – число жителей посёлка. Вероятность того, что данный житель зайдёт в конкретный магазин, уменьшается с увеличением п. Но число посетителей магазина примерно одинаково каждый день.

На практике не обязательно требовать, чтобы , достаточно, чтобы п было большим, а р маленьким. Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.

Однако при npq 10 можно пользоваться теоремой Муавра-Лапласа.

Пример 1. Вероятность того, что конкретный абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 4 абонента?

n=300, p=0,01  =3000,01=3;

Пример 2. В урне имеется 500 шаров, из которых 5 белых. Производится 100 извлечений по одному шару с возвращением. Какова вероятность того, что белый шар появится не более двух раз?

n=100, p=0,01  =1000,01=1; npq=1000,010,99=0,99<10 

применять интегральную теорему Лапласа нельзя. По формуле Пуассона

При использовании формулы Пуассона можно пользоваться таблицами значений Р_k=P_n(k) для различных , которые приводятся в справочниках по высшей математике и в книгах по теории вероятностей.

Тема: Дискретные случайные величины

8. Случайные величины

Первая часть нашего курса была посвящена случайным событиям. Объектами изучения были события и соответствующие им вероятности. Теперь мы будем рассматривать только события, заключающиеся в появлении некоторого числа. Мы уже встречались с такими событиями. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1,2,…,6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1,2,…,6 есть возможные значения этой величины. Появление определённой карты при вынимании из колоды будет случайной величиной только в случае, если мы занумеруем картинки, например, валету будет соответствовать число 11, тузу  1. Масти тоже можно занумеровать: 1, 2, 3, 4.

Определение. Случайной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина, которая может принимать следующие возможные значения: 0,1,2,…,100.

Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т.д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку <а, b>.

Пример 3. Номер первого шара, выкатившегося из лототрона при игре «6 из 49», есть случайная величина, принимающая значения 1,2,…,49.

Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X,Y,Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Например, если случайная величина Х имеет три различных значения, то они будут обозначены так: х₁, х₂, х₃.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Пример 4. Число судов, которые могут войти в порт для разгрузки в течение суток – дискретная случайная величина. Продолжительность разгрузки некоторого судна – непрерывная случайная величина.