7.3. Функция Лапласа

Определение. Функцией Лапласа называется функция , задаваемая формулой:

(7.3.1)

Как видим, функция Лапласа представляет собой интеграл с переменным верхним пределом. По теореме Барроу производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу. Поэтому

, (7.3.2)

Рис.7.3.1	Рис.7.3.2.

т.е. является первообразной функции (х). Геометрически  это площадь заштрихованной части подграфика функции (х) (см. рис.7.3.1) График самой функции Лапласа изображен на рис.7.3.2.

Значения функции Лапласа можно найти в таблицах.

Свойства функции Лапласа

1. Функция Лапласа нечётна:

(х)=(х).

2. Ф(х)1/2 при х.

3. Функция Лапласа возрастает при всех значениях аргумента.

Замечание. Т.к. функция Лапласа является монотонно возрастающей на всей числовой оси, для неё при всех у существует обратная функция

.

Это означает, что в таблице по значениям функции можно найти значение аргумента х.

4. (7.3.3)

Таблицу значений функции Лапласа можно найти в учебниках по теории вероятностей или в справочниках. При значениях аргумента, больших 5, Ф(х) принимается равным 0,5 (см. график и свойство 2). При значениях аргумента, меньших –5, принимается значение –0,5.

Замечание: также использую таблицу значений функции можно решать обратную задачу, т.е. найдём по этой таблице значение х, соответствующее значению Ф(х).

7.4. Интегральная теорема Лапласа

Теорема. Пусть проводится серия из n испытаний по схеме Бернулли, причем п достаточно велико. Если вероятность появления события А в каждом испытании р отлична от 0 и 1, то вероятность Р_n(k₁, k₂) того, что событие А появится в n испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз, приближённо равна разности значений функции Лапласа в точках х₁ и х₂:

(7.4.1)

где

(7.4.2)

Замечание:

Это равенство иногда записывают так:

Пример 1. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) не менее 70 и не более 80 раз.

n=100, p=0,75; q=0,25; k₁=70, k₂=80;

P₁₀₀(70, 80)=Ф(х₂)Ф(х₁)=2Ф(1,15)=20,3749=0,74980,75

(довольно большая вероятность).

б) не более 70 раз. k₁=0; k₂=70.

P₁₀₀(0, 70)=Ф(1,15)+Ф(17,32)=0,3749+0,5=0,1251.

(маленькая вероятность).

в) более 90 раз. k₁=91; k₂=100.

Р₁₀₀(91, 100)=0,5-0,4998=0,0002

(очень маленькая вероятность, т.к. стрелок стреляет плохо).

г) 100 раз. Используем локальную теорему Муавра-Лапласа.

Р₁₀₀(100)= =0,230910^-100.

Результат не является неожиданным.

7.5. Закон больших чисел в форме Бернулли

Согласно свойству статистической устойчивости относительные частоты

, (7.5.1)

где  абсолютная частота появления события А, п  число испытаний в серии. Закон больших чисел устанавливает, насколько близки значения относительной частоты и вероятности.

Определение. Отклонением числа х от числа а называется разность ха:

=xa.

Пример. Отклонение относительной частоты от вероятности – это разность

.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0<p<1). Пусть событие А наступило в этой серии испытаний т раз. Вероятность осуществления неравенства

(7.5.2)

будем обозначать так:

(7.5.3)

Докажем, что эта вероятность стремится к 1 при n.

Закон больших чисел в форме Бернулли. В условиях схемы Бернулли для любого сколь угодно малого положительного числа  с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно ожидать, что при достаточно большом числе испытаний n модуль отклонения относительной частоты появления события А от его вероятности не превосходит :

. (7.5.4)

. (7.5.7)

Замечание. Закон можно переписать в виде , которая широко применяется на практике, например, при контроле изделий.

Пример 1. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей будет отличаться от вероятности р=0,1 не более чем на 3%.

По условию n=400, p=0,1; q=0,9; =0,03. Требуется найти вероятность

По формуле (7.5.7):

По таблице находим Ф(2)=0,4772  2Ф(2)=0,9544.

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб относительная частота будет отличаться от постоянной вероятности р=0,1 не более, чем на 3% (относительная частота с точностью 3% будет равна 0,01). Заметим, что абсолютная частота появления нестандартной детали т (так же как и относительная частота) в вычислениях не участвовала.

Можно решить и обратную задачу.

Пример 2. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна 0,1. Сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей среди отобранных отклонится от постоянной вероятности р не более чем на 3%?

По условию р=0,1; q=0,9; =0,03; Требуется найти n.

По формуле (7.5.7)

По таблице значений функции Лапласа находим . Для отыскания числа n получаем уравнение: Отсюда , и искомое число деталей n=400.

Найдем число нестандартных деталей в 95,44% проб. Согласно закону больших чисел выполняются равенства (7.5.2) и (7.5.5). Из (7.5.5) имеем:

n(p)<m<n(p+); (7.5.8)

400(0,10,03)<m<400(0,1+0,03);

28<m<52.

Если взять даже одну пробу из 400 деталей, то с большой уверенностью (около 95%) можно ожидать, что в этой пробе будет нестандартных деталей не менее 28 и не более 52. Возможно, хотя и маловероятно, что нестандартных деталей окажется меньше 28 либо больше 52.

Пример 3. Французский ученый Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, причем герб появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления герба отклонится от вероятности его появления по модулю не более, чем в опыте Бюффона.

;

По формуле (7.5.7) . Найдем аргумент функции Лапласа.

.

Как видим, вероятность невелика и повторять опыт Бюффона мало смысла.

Пример 4. В урне содержатся белые и чёрные шары в отношении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет, и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений п, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более, чем 0,01?

;

.

.

Число извлечений не слишком велико, и опыт можно поставить.

Пример 5. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число т выпадений шестёрки.

Сначала найдем .

;

.

Для нахождения т воспользуемся формулой (7.5.8):

n(p-)<m<n(p+);

.