7. Серии независимых испытаний

Пусть проводится n испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Такие испытания называются независимыми относительно события А.

Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность р: Р(А)=р. (Тогда говорят, что испытания проводятся по схеме Бернулли относительно события А). Вероятность противоположного события обозначим q: P( )=q; q=1p.

Примеры. 1) Бросание монеты. p=1/2; q=1/2.

2) Покупка билета в лотерее, где из 100 билетов 10 выигрышных. р=1/10; q=9/10.

3) Несколько выстрелов в цель в случае, когда прицеливание производится каждый раз перед выстрелом.

В данной главе будем вычислять вероятность того, что событие А появится в серии из п испытаний ровно k раз. Такую вероятность будем обозначать .

7.1. Формула Бернулли

Пример 1. Пусть серия испытаний представляет собой трехкратное бросание игральной кости. Найти вероятность выпадения 1 очка ровно 2 раза.

Здесь р=1/6, q=5/6; А  выпадение одного очка при одном бросании, В  выпадение одного очка ровно два раза при трех бросаниях. Тогда

. (7.1.1)

Можно записать так:

.

Цифры в скобках  это номера испытаний (бросаний), в которых выпало одно очко, т.е. произошло событие А. Каждая скобка представляет собой выборку двух цифр из трёх без учёта порядка, т.е. сочетание. В данном случае число сочетаний равно . Т.к. все слагаемые в формуле (7.1.1)  попарно несовместные события, а множители в них  независимые события, вероятность события В можно вычислить следующим образом:

Если бросать кость 4 раза, получим слагаемых.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть проводится серия из n испытаний. Вычислим вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз, а значит, не осуществится nk раз. При этом не требуется, чтобы событие А повторилось k раз в определенной последовательности.

Теорема. (Формула Бернулли).

При n испытаниях по схеме Бернулли относительно события А вероятность наступления события А ровно k раз определяется формулой

P_n(k)= (7.1.1)

Решим задачу примера 1 с использованием этой формулы:

Пример 2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, 3 девочки и 2 мальчика.

Решим относительно девочек. Тогда п=5, k=3, р=1/2, q=1/2;

В условиях этой же задачи определить вероятность того, что в семье не больше двух девочек.

Пример 3. Какова вероятность того, что при пяти испытаниях комплекса оборудования произойдет не менее трёх отказов, если вероятность отказа в каждом испытании равна 0,1? В данной задаче n=5, p=0,1, q=0,9. Искомое событие А состоит в том, что произойдут события А₃ – ровно 3 отказа – или А₄ – ровно 4 отказа – или А₅ – ровно 5 отказов, тогда

А=А₃+А₄+А₅;

Т.к. события несовместны, то

Р(А)=Р(А₃)+Р(А₄)+Р(А₅)=Р₅(3)+Р₅(4)+Р₅(5)=

=

Замечание. Формулу Бернулли применяют при небольшом числе испытаний (меньше 30) и достаточно большой вероятности р (р 1/10). В других случаях пользуются приближёнными формулами для вычисления этих вероятностей, как будет показано ниже.