Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
комбинаторика.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
2.14 Mб
Скачать

6.1.Формула полной вероятности

Теорема о полной вероятности события.

Пусть имеется n гипотез Н1, Н2,…Нn, причем Р(Нi)0 для любого . Тогда для любого события А справедлива формула

(6.1.2)

т.е. вероятность любого события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события А, происшедшего вместе с этой гипотезой.

Формула (6.1.2) носит название формулы полной вероятности. Геометрическая интерпретация этой формулы приведена на рис.6.1.1. На рис.6.1.1,а схематически изображены гипотезы, образующие полную группу. На рис.6.1.1,б в виде круга показано событие А. Пересечение события А с гипотезой Hi представляет собой соответствующий сектор AHi.

Замечание. Для проверки правильности составления гипотез в задачах следует использовать контрольное равенство:

(6.1.4)

Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй – три белых и один черный; в третьей – два белых и два черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Рассмотрим три гипотезы:

Н1 – выбор первой урны,

Н2 – выбор второй урны,

Н3 – выбор третьей урны

и событие А – появление белого шара.

Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможны (урны на вид одинаковы), то P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3.

Условные вероятности события А при этих гипотезах, т.е. вынимание белого шара из выбранной урны, соответственно равны:

По формуле полной вероятности

Пример 3. В одном ящике 15 стандартных деталей и 5 бракованных, в другом – 4 стандартных и 6 бракованных. Одну деталь переложили из первого ящика во второй. Затем из второго ящика одну деталь взяли на контроль. Какова вероятность того, что она бракованная?

1-й способ. Событие А – взятая на контроль деталь бракованная.

Составим гипотезы. На рис. 6.1.2 переложенная деталь (неизвестного качества) обозначена одновременно ноликом и крестиком.

Рис.6.1.2

Н1 – была переложена стандартная деталь, Р(Н1)=15/20=3/4;

Н2 – была переложена бракованная деталь, Р(Н2)=5/20=1/4.

Условные вероятности при этих гипотезах равны:

Р(А/Н1)=6/11; Р(А/Н2)=7/11.

Полная вероятность события А Р(А)=3/46/11+1/47/11=25/44.

2-й способ. Разделим все детали второго ящика на две группы:

10 «старых», т.е. тех, которые лежали во втором ящике до перекладывания;

1 «новая», т.е. переложенная деталь.

Составим гипотезы:

Н1 – на контроль была взята «старая» деталь  Р(Н1)=10/11;

Н2 – на контроль была взята «новая» деталь  Р(Н2)=1/11.

Тогда вероятность того, что вынутая деталь бракованная, целиком определяется изначальной принадлежностью этой детали к тому или иному ящику:

Р(А/Н1)=6/10=3/5; Р(А/Н2)=5/20=1/4.

Р(А)=10/113/5+1/111/4=6/11+1/44=25/44.

6.2. Переоценка вероятности гипотез. Формула Байеса (Бейеса)

(Thomas Bayes – английский математик XIX в.)

Мы вычисляли вероятности гипотез Нi до того, как рассматриваемое событие А произошло, т.е.до опыта, по-латински a priori. Такие вероятности называются априорными. Пусть теперь событие А произошло. Можем ли мы теперь сказать, какая из гипотез Нi наступила при этом? Ответ на этот вопрос мы можем дать только в вероятностной форме, указав P(Hi /A) – условные вероятности гипотез при условии наступления события А. Эти вероятности называют апостериорными (a posteriori) – после опыта, т.е. происходит переоценка вероятности гипотез вследствие наличия дополнительной информации. Вычислить апостериорные вероятности можно, используя теорему Байеса.

Теорема Байеса. Пусть некоторому испытанию соответствуют n попарно несовместных событий (гипотез), образующих полную группу, причем Р(Нi)0, i=1,2,…,n. Пусть вместе с одной из этих гипотез (неизвестно, какой) наступило некоторое событие А, вероятность которого также отлична от 0. Тогда условные вероятности любой из гипотез при условии наступления события А можно вычислить по формулам:

(6.2.1)

Замечание. Формула Байеса показывает как бы «вес» каждой гипотезы относительно события А в данном испытании. Из формулы полной вероятности нужно взять то слагаемое, которое соответствует исследуемой гипотезе.

Пример 1. Партия деталей изготовлена двумя рабочими. Первый рабочий изготовил 2/3 партии, второй – 1/3 партии. Вероятность брака для первого рабочего 1%, для второго – 10%. На контроль взяли одну деталь, она оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена первым рабочим? Вторым рабочим?

Рассмотрим гипотезы:

Н1 – проверенная деталь изготовлена 1-м рабочим, Р(Н1)=2/3;

Н2 – проверенная деталь изготовлена 2-м рабочим, Р(Н2)=1/3,

и событие А – проверенная деталь бракованная.

По условию задачи Р(А/Н1)=1/100; Р(А/Н2)=1/10. По формуле полной вероятности найдём

Р(А)= Р(Н1) Р(А/Н1)+ Р(Н2) Р(А/Н2)=2/31/100+1/31/10=4/100=4%.

Пусть теперь событие А произошло (деталь оказалась бракованной). По формуле Байеса

Как видим, полученные апостериорные вероятности отвечают смыслу задачи, т.к. почти весь брак был по вине 2-го рабочего. Обратим внимание также на произведенную переоценку гипотез. Априори вероятность того, что деталь была изготовлена 2-м рабочим, равнялась 1/3, апостериори она увеличилась до 5/6.

Пример 2. Студент Иванов сдает экзамен с вероятностью 1/5, а студент Петров  с вероятностью 9/10. Вызывают одного из этих студентов. При ответе получена двойка. Какова вероятность того, что отвечал Иванов? Петров?

Введём гипотезы: Н1  отвечал Иванов, Н2  отвечал Петров. Т.к. преподаватель не знает этих студентов, вероятность того, что отвечал каждый из них, равна ½. Рассмотрим событие А  получена двойка. Иванов получает двойку с вероятностью 4/5, а Петров  с вероятностью 1/10. Полная вероятность события А:

Вероятность того, что отвечал Иванов:

;

Петров:

.

Пример 3. В одной урне 3 белых и 4 чёрных шара, в другой 2 белых и 7 чёрных. Из 1-й урны переложили во 2-ю 3 шара (рис. 6.2.1), затем из 2-й урны наугад вынули 1 шар. Найти вероятность того, что он чёрный.

1-й способ. Н1 – переложено 3 чёрных шара,

Н2 – 2 чёрных и 1 белый,

Н3 – 1 чёрный и 2 белых,

Н4 – 3 белых.

Для вычисления вероятности гипотез применим формулу задачи о выборке. Признак х – это чёрный цвет шара. Тогда .

.

; ;

; .

.

2-й способ. Н1 – был вынут старый шар (изначально лежавший во 2-й урне),

Н2 – новый (из переложенных).

.

Видим, что 2-й способ значительно короче.

Тема: Серии независимых испытаний