
- •1. Элементы комбинаторики.
- •1.1. Перестановки
- •1.2. Перестановки с повторениями
- •1.3. Размещения
- •1.4. Размещения с повторениями (с возвратом)
- •1.5. Сочетания
- •1.6. Сочетания с повторениями (с возвратом)
- •1.7. Обобщение
- •2. Случайные события
- •2.1. Испытания и события
- •2.2. Виды случайных событий
- •2.3. Пространство элементарных событий
- •2.4. Операции над событиями
- •Событие
- •9. Полная группа событий. Совокупность событий называется полной группой событий, если:
- •2.5. Свойства операций над событиями
- •3.1 Относительная частота событий
- •3.2. Свойства относительной частоты
- •3.3. Статистическая устойчивость частот
- •3.4. Формулировка аксиом Колмогорова.
- •3.5. Следствия из аксиом
- •4.1. Вычисление вероятностей событий
- •4.2. Задача о выборке
- •4.3. Геометрический подход к вероятности
- •5. Сложение и умножение вероятностей
- •5.1. Сложение вероятностей
- •5.2. Независимые и зависимые события
- •5.3. Условная вероятность
- •5.4. Умножение вероятностей
- •5.5. Свойства условных вероятностей
- •5.6. Независимость нескольких событий
- •5.7. Независимость противоположных событий
- •5.8. Вероятность появления хотя бы одного события
- •5.9. Применение теорем сложения и умножения для решения задач
- •6. Вероятность гипотез
- •6.1.Формула полной вероятности
- •6.2. Переоценка вероятности гипотез. Формула Байеса (Бейеса)
- •7. Серии независимых испытаний
- •7.1. Формула Бернулли
- •7.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •7.3. Свойства функции (х).
- •7.3. Функция Лапласа
- •7.4. Интегральная теорема Лапласа
- •7.5. Закон больших чисел в форме Бернулли
- •7.6. Формула Пуассона
- •8. Случайные величины
- •8.1. Дискретные случайные величины
- •8.2. Характеристическая случайная величина (индикатор события)
- •8.3. Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
- •8.4. Распределение Пуассона
- •8.5. Гипергеометрическое распределение
- •9. Непрерывные случайные величины
- •9.1. Функция распределения (интегральная функция распределения)
- •9.2. Свойства функции распределения
- •9.3. Примеры функций распределения
- •10. Плотность распределения
- •10.1. Свойства плотности распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения.
- •10.3. Связь между плотностью и функцией распределения
- •10.4. Примеры непрерывных случайных величин, заданных плотностью
- •11. Числовые характеристики случайной величины
- •11.1. Определение математического ожидания
- •11.2. Определение математического ожидания
- •11.3. Смысл математического ожидания
- •11.4. Арифметические операции со случайными величинами
- •11.4.1. Постоянная случайная величина
- •11.4.2. Произведение случайных величин
- •11.4.3. Сумма случайных величин
- •11.4.4. Разность случайных величин
- •11.5. Свойства математического ожидания
- •11.6. Отклонение случайной величины
- •12.1. Дисперсия Для общего представления о распределении случайной величины важное значение имеет не только её математическое ожидание, но и разброс её возможных значений.
- •12.2. Определение дисперсии
- •12.3. Механический смысл дисперсии
- •12.4. Сокращённая формула для вычисления дисперсии
- •12.5. Свойства дисперсии
- •12.6. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)
- •12.7. Числовые характеристики основных дискретных распределений
- •12.7.1. Индикатор события
- •12.7.2. Биномиальное распределение
- •12.7.3. Распределение Пуассона
- •12.7.4. Гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение.
- •13.1. Равномерное распределение
- •13.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •13.2.1. Функция надёжности
6.1.Формула полной вероятности
Теорема о полной вероятности события.
Пусть имеется n
гипотез Н1,
Н2,…Нn,
причем Р(Нi)0
для любого
.
Тогда для любого события А
справедлива формула
(6.1.2)
т.е. вероятность любого события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события А, происшедшего вместе с этой гипотезой.
Формула (6.1.2) носит название формулы полной вероятности. Геометрическая интерпретация этой формулы приведена на рис.6.1.1. На рис.6.1.1,а схематически изображены гипотезы, образующие полную группу. На рис.6.1.1,б в виде круга показано событие А. Пересечение события А с гипотезой Hi представляет собой соответствующий сектор AHi.
Замечание. Для проверки правильности составления гипотез в задачах следует использовать контрольное равенство:
(6.1.4)
Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй – три белых и один черный; в третьей – два белых и два черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Рассмотрим три гипотезы:
Н1 – выбор первой урны,
Н2 – выбор второй урны,
Н3 – выбор третьей урны
и событие А – появление белого шара.
Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможны (урны на вид одинаковы), то P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3.
Условные вероятности события А при этих гипотезах, т.е. вынимание белого шара из выбранной урны, соответственно равны:
По формуле полной вероятности
Пример 3. В одном ящике 15 стандартных деталей и 5 бракованных, в другом – 4 стандартных и 6 бракованных. Одну деталь переложили из первого ящика во второй. Затем из второго ящика одну деталь взяли на контроль. Какова вероятность того, что она бракованная?
1-й
способ. Событие
А
– взятая на контроль деталь бракованная.
Составим гипотезы. На рис. 6.1.2 переложенная деталь (неизвестного качества) обозначена одновременно ноликом и крестиком.
Рис.6.1.2
Н1 – была переложена стандартная деталь, Р(Н1)=15/20=3/4;
Н2 – была переложена бракованная деталь, Р(Н2)=5/20=1/4.
Условные вероятности при этих гипотезах равны:
Р(А/Н1)=6/11; Р(А/Н2)=7/11.
Полная вероятность события А Р(А)=3/46/11+1/47/11=25/44.
2-й способ. Разделим все детали второго ящика на две группы:
10 «старых», т.е. тех, которые лежали во втором ящике до перекладывания;
1 «новая», т.е. переложенная деталь.
Составим гипотезы:
Н1 – на контроль была взята «старая» деталь Р(Н1)=10/11;
Н2 – на контроль была взята «новая» деталь Р(Н2)=1/11.
Тогда вероятность того, что вынутая деталь бракованная, целиком определяется изначальной принадлежностью этой детали к тому или иному ящику:
Р(А/Н1)=6/10=3/5; Р(А/Н2)=5/20=1/4.
Р(А)=10/113/5+1/111/4=6/11+1/44=25/44.
6.2. Переоценка вероятности гипотез. Формула Байеса (Бейеса)
(Thomas Bayes – английский математик XIX в.)
Мы вычисляли вероятности гипотез Нi до того, как рассматриваемое событие А произошло, т.е.до опыта, по-латински a priori. Такие вероятности называются априорными. Пусть теперь событие А произошло. Можем ли мы теперь сказать, какая из гипотез Нi наступила при этом? Ответ на этот вопрос мы можем дать только в вероятностной форме, указав P(Hi /A) – условные вероятности гипотез при условии наступления события А. Эти вероятности называют апостериорными (a posteriori) – после опыта, т.е. происходит переоценка вероятности гипотез вследствие наличия дополнительной информации. Вычислить апостериорные вероятности можно, используя теорему Байеса.
Теорема Байеса. Пусть некоторому испытанию соответствуют n попарно несовместных событий (гипотез), образующих полную группу, причем Р(Нi)0, i=1,2,…,n. Пусть вместе с одной из этих гипотез (неизвестно, какой) наступило некоторое событие А, вероятность которого также отлична от 0. Тогда условные вероятности любой из гипотез при условии наступления события А можно вычислить по формулам:
(6.2.1)
Замечание. Формула Байеса показывает как бы «вес» каждой гипотезы относительно события А в данном испытании. Из формулы полной вероятности нужно взять то слагаемое, которое соответствует исследуемой гипотезе.
Пример 1. Партия деталей изготовлена двумя рабочими. Первый рабочий изготовил 2/3 партии, второй – 1/3 партии. Вероятность брака для первого рабочего 1%, для второго – 10%. На контроль взяли одну деталь, она оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена первым рабочим? Вторым рабочим?
Рассмотрим гипотезы:
Н1 – проверенная деталь изготовлена 1-м рабочим, Р(Н1)=2/3;
Н2 – проверенная деталь изготовлена 2-м рабочим, Р(Н2)=1/3,
и событие А – проверенная деталь бракованная.
По условию задачи Р(А/Н1)=1/100; Р(А/Н2)=1/10. По формуле полной вероятности найдём
Р(А)= Р(Н1) Р(А/Н1)+ Р(Н2) Р(А/Н2)=2/31/100+1/31/10=4/100=4%.
Пусть теперь событие А произошло (деталь оказалась бракованной). По формуле Байеса
Как видим, полученные апостериорные вероятности отвечают смыслу задачи, т.к. почти весь брак был по вине 2-го рабочего. Обратим внимание также на произведенную переоценку гипотез. Априори вероятность того, что деталь была изготовлена 2-м рабочим, равнялась 1/3, апостериори она увеличилась до 5/6.
Пример 2. Студент Иванов сдает экзамен с вероятностью 1/5, а студент Петров с вероятностью 9/10. Вызывают одного из этих студентов. При ответе получена двойка. Какова вероятность того, что отвечал Иванов? Петров?
Введём гипотезы: Н1 отвечал Иванов, Н2 отвечал Петров. Т.к. преподаватель не знает этих студентов, вероятность того, что отвечал каждый из них, равна ½. Рассмотрим событие А получена двойка. Иванов получает двойку с вероятностью 4/5, а Петров с вероятностью 1/10. Полная вероятность события А:
Вероятность того, что отвечал Иванов:
;
Петров:
.
Пример 3. В одной урне 3 белых и 4 чёрных шара, в другой 2 белых и 7 чёрных. Из 1-й урны переложили во 2-ю 3 шара (рис. 6.2.1), затем из 2-й урны наугад вынули 1 шар. Найти вероятность того, что он чёрный.
1-й
способ.
Н1
– переложено 3 чёрных шара,
Н2 – 2 чёрных и 1 белый,
Н3 – 1 чёрный и 2 белых,
Н4 – 3 белых.
Для вычисления
вероятности гипотез применим формулу
задачи о выборке. Признак х
– это чёрный цвет шара. Тогда
.
.
;
;
;
.
.
2-й способ. Н1 – был вынут старый шар (изначально лежавший во 2-й урне),
Н2 – новый (из переложенных).
.
Видим, что 2-й способ значительно короче.
Тема: Серии независимых испытаний