5.9. Применение теорем сложения и умножения для решения задач

Задача 1. Производится 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при 1-м выстреле равна 0,5, при втором  0,6, при 3-м – 0,7. Найти вероятности:

1) ровно одного попадания при трёх выстрелах;

2) ровно двух попаданий при трёх выстрелах;

3) трёх попаданий при трёх выстрелах;

4) трёх промахов при трёх выстрелах;

5) хотя бы одного попадания.

Обозначим А_i – попадание при i-м выстреле (i=1,2,3). Тогда - промах при i-м выстреле.

1) Составим событие А – ровно 1 попадание при трёх выстрелах:

(5.9.1)

Слагаемые в (5.9.1) являются несовместными событиями. Будем считать также, что сомножители в каждом слагаемом являются независимыми в совокупности событиями. Вероятность промахов при каждом выстреле найдем по формуле (4.2.6):

Тогда, учитывая аксиому 3 и формулу (5.8.2), получим:

Р(А)=0,50,40,3+0,50,60,3+0,50,40,7=0,29.

2) Событие В  ровно 2 попадания при трёх выстрелах:

Р(В)=0,50,60,3+0,50,40,7+0,50,60,7=0,09+0,14+0,21=0,44.

3) .

4) .

5)

Задача 2. Две электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что первая лампочка перегорит при повышенном напряжении, равна 0,1, вторая – 0,2 (рис.5.9.1). Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

А В

Рис.5.9.1

1-й способ. Событие А – перегорание 1-й лампочки, событие В – перегорание 2-й лампочки. Событие С – перегорела хотя бы одна из ламп, т.е. цепь вышла из строя. События А и В совместны, т.к. обе лампы могут перегореть одновременно. Кроме того, события А и В независимы, т.к. исправность одной лампы не зависит от исправности другой. Используем формулы (5.2.10) и (5.5.5):

Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)Р(АВ)=0,1+0,20,10,2=0,30,02=0,28.

2-й способ. Рассмотрим противоположное событие  ток в цепи есть. Очевидно, это будет иметь место при исправности обеих ламп: , где и  независимые события. Найдем вероятность :

Вероятность события С

Упражнение. Решить аналогичную задачу для цепи, состоящей из трех параллельно соединённых лампочек. В первом способе решения использовать формулу (5.1.2).

Тема: Вероятность гипотез

6. Вероятность гипотез

Следствием законов сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности. Пусть некоторому испытанию соответствуют n попарно несовместных событий

Н₁, Н₂,…Н_n, (6.1.1)

образующих полную группу. Будем эти события называть гипотезами. Из определения следует, что при одном испытании обязательно происходит одно и только одно из Н_i. Если при этом происходит еще некоторое событие А, то оно неизбежно будет совместным с одной из гипотез Н_i (с какой, неизвестно), т.к. одна из гипотез всегда происходит. Т.к. событие А происходит или с одной гипотезой, или с другой, то его можно представить как сумму событий, происшедших одновременно с каждой из этих гипотез.

Гипотезы отличаются от исходов, которые также попарно несовместны и образуют полную группу, тем, что гипотезы в общем случае  более сложные события, чем исходы. Гипотезы, как правило, являются не элементарными, а составными событиями.