5.6. Независимость нескольких событий

Как обычно, будем рассматривать события, соответствующие какому-либо одному испытанию.

Определение 1. (другое определение независимости двух событий).

События А и В называются независимыми, если для них выполняется условие:

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Определение 2. События А₁, А₂,…,А_n называются попарно независимыми, если для любых , ij

Р(А_iА_j)=Р(А_i)P(A_j). (5.6.1)

Определение 3. События А₁, А₂,…,А_n называются независимыми в совокупности, или взаимно независимыми, если любое из этих событий А_i не зависит не только от всякого другого из них, но и от любого произведения, составленного из оставшихся событий А₁, А₂,…,А_i-1, A_i+1,…,А_n.

Другими словами, если события А₁, А₂,…,А_n независимы в совокупности, то для любых должно выполняться

(5.6.2)

В частности, при :

(5.6.3)

Требование независимости в совокупности сильнее, чем попарной независимости. Попарная независимость является лишь частным случаем независимости в совокупности, когда перемножаются только пары событий.

Пример. В урне находятся 4 шара: белый, черный, красный и пёстрый – окрашенный в полоску всеми этими тремя цветами. Испытание состоит в изъятии одного шара из урны и фиксировании его цвета. Обозначим события: А – вынутый шар содержит белый цвет; В – чёрный цвет; С – красный цвет. Выясним, насколько независимы эти события. Вероятности появления каждого цвета равны

Р(А)=Р(В)=Р(С)=2/4=1/2,

т.к. благоприятствующими исходами для любого цвета будут два из четырёх: появление шара, целиком окрашенного в данный цвет, и пёстрого шара.

Произведение любых двух событий будет означать появление пёстрого шара, следовательно,

.

С другой стороны, произведения вероятностей событий А, В и С также равны 1/4:

Следовательно, события А, В и С попарно независимы. Выясним, являются ли они независимыми в совокупности. Рассмотрим произведение всех трёх событий. АВС  это появление всех трёх цветов одновременно, т.е. появление полосатого шара. Тогда . Но

Р(А)Р(В)Р(С)=1/21/21/2=1/8Р(АВС).

Как видим, для шаров из нашего примера равенство (5.6.3) не имеет места.

5.7. Независимость противоположных событий

Понятия независимости и несовместности не связаны между собой, события могут быть независимыми, но совместными.

Теорема. Если события А и В независимы, то независимы также пары событий А и и В, и .

Замечание. Утверждение теоремы можно распространить на любое количество независимых в совокупности событий.

5.8. Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Пусть имеется n событий А₁,А₂,…,А_n, независимых в совокупности, вероятности которых соответственно равны р₁, р₂,…,р_n. Тогда вероятность события А  появления хотя бы одного из этих событий  можно вычислить по формуле:

Р(А)=1 – q₁q₂…q_n, (5.8.1)

где q_i – вероятность события .

Частный случай. Если события А₁, А₂,…, А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, а противоположные им события имеют вероятность, равную q, то

P(B)=1 qⁿ. (5.8.2)

Пример 1. Вероятность выхода из строя k-го блока вычислительной машины за время Т равна р_k (k=1,2,…,n). Определить вероятность выхода из строя за время Т хотя бы одного из n блоков, если работа всех блоков взаимно независима.

А – хотя бы один блок вышел из строя; – все исправны; q_k=1p_k  k-й блок исправен. Подставляем в формулу (5.8.1):

Пример 2. Найти вероятность выпадения хотя бы одного герба при трёхкратном бросании монеты.

Пусть А_i – появление герба при i-м бросании; p_i =p=1/2; q_i=q=1–p=1/2.

По формуле (5.8.2)

P(A)=1 – q³=1 – (1/2)³=7/8.