5.3. Условная вероятность

Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).

Так, в последнем примере можно записать: Р(А)=1/3; P(B/A)=3/11.

Событие А может происходить раньше события В или одновременно с ним.

Условие независимости события В от события А можно записать в виде:

Р(В/А)=Р(В), (5.3.1)

а условие зависимости В от А – в виде:

Р(В/А)Р(В). (5.3.2)

Условная вероятность определяется следующим образом:

. (5.3.3)

5.4. Умножение вероятностей

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А). (5.4.1)

Доказательство следует непосредственно из определения условной вероятности (5.3.3).

Следствие 1. С помощью метода математической индукции формулу (5.4.1) можно распространить на произведение любого числа событий. Для трех событий:

Р(АВС)=Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ),

где последний множитель означает вероятность события С при условии, что А и В произошли. Для п событий:

Р(А₁А₂ ...А_n)=Р(А₁)Р(А₂/А₁)…Р(А_n/А₁А₂…A_n-1) (5.4.4)

Пример. На полоске картона написали слово «математика», полоску разрезали на квадратики, содержащие по одной букве. Квадратики тщательно перемешали. Какова вероятность того, что из взятых по одному и выложенных в ряд 4 квадратиков можно получить слово «тема»?

Обозначим события, заключающиеся в появлении букв, этими же буквами:

Р(Т)=2/10=1/5; Р(Е/Т)=1/9; Р(М/ТЕ)=2/8=1/4; Р(А/ТЕМ)=3/7.

По формуле (5.5.4)

Р(ТЕМА)=1/51/91/43/7=1/420.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство. Если В не зависит от А, то Р(В/А)=Р(В) (формула (5.3.1)). Подставим в (5.4.1):

Р(АВ)=Р(А)Р(В). (5.4.5)

Замечание. Равенство (5.4.5) можно рассматривать как определение независимости событий А и В.

Пример. В урне 4 белых и 8 черных шаров. Испытание заключается в том, что последовательно вынимаются 2 шара. Изменим условие примера, приведенного в параграфе 5.3 (независимые и зависимые события). Пусть после фиксирования цвета первый шар возвращается в урну, и шары перемешиваются. Событие А – первый вынутый шар белый. Событие В – второй вынутый шар белый. Чему равна вероятность того, что оба вынутых шара белые?

События А и В независимы. Вычислим их вероятности по классической схеме: Р(А)=Р(В)=4/12=1/3.

Вероятность произведения АВ вычислим по формуле (5.4.5):

Р(АВ)=1/31/3=1/9.

Заметим, что вероятность в этом случае больше (по сравнению с 1/11), т.к. при втором вынимании было больше белых шаров.

Вычислим вероятность появления двух белых шаров без возврата первого шара (пример 5.3.1 с шарами). По формуле (5.4.1)

5.5. Свойства условных вероятностей

Теорема о свойствах условных вероятностей. Условные вероятности удовлетворяют трем аксиомам Колмогорова, а следовательно, обладают и всеми остальными свойствами, присущими безусловным вероятностям:

1.

2. Р(/А)=1.

3. Если  попарно несовместные события, то

Р((B₁+B₂+…+B_n)/A)=P(B₁/A)+P(B₂/A)+…+P(B_n/A).