5. Сложение и умножение вероятностей
Схема равновозможных исходов позволяет вычислить вероятности простых событий. Чтобы вычислять вероятности более сложных событий, применяются правила сложения и умножения вероятностей.
5.1. Сложение вероятностей
1. Для двух несовместных событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
2. Для вычисления вероятности суммы нескольких попарно несовместных событий (больше двух) используется аксиома 3, т.е. свойство аддитивности вероятности:
.
При этом весьма полезным является понятие противоположного события.
Пример. Круговая мишень состоит из трёх зон (рис.5.1.1). Вероятность попадания в 1-ю зону при одном выстреле равна 0,15; во 2-ю – 0,23; в 3-ю – 0,17. Найти вероятность промаха при одном выстреле.
попадания соответственно в 1-ю, 2-ю и 3-ю
зоны – попарно несовместные события.
Очевидно, что
.
В случае попадания на границы кругов
будем считать, что попали в круг ближе
к центру. По аксиоме 3
Рис.5.1.1
3. Для бесконечного числа попарно несовместных событий
.
Здесь бесконечные суммы надо понимать как суммы рядов.
4. Если два события А и В совместны, то для нахождения вероятности их суммы применяется следствие 6 из системы аксиом (формула (3.2.10)):
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)Р(АВ). (5.1.1)
5. Вероятность суммы трёх совместных событий вычисляется по формуле:
Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)Р(АВ)Р(АС)Р(ВС)+Р(АВС). (5.1.2)
Доказательство.
,
ч.т.д.
Рис.5.1.2 показывает
справедливость замены произведения
на АВС.
Рис.5.1.2
5.2. Независимые и зависимые события
Определение 1. Событие В называется независимым от события А, если вероятность события В не зависит от того, произошло событие А или нет.
Определение 2. Событие В называется зависимым от события А, если вероятность события В меняется в зависимости от того, произошло событие А или нет.
Пример 1 (с шарами). В урне 4 белых и 8 чёрных шаров. Испытание заключается в том, что последовательно вынимаются 2 шара. Событие А – первый вынутый шар белый, В – второй вынутый шар белый. Тогда Р(А) равна 1/3, а Р(В) зависит от того, какого цвета первый вынутый шар, т.е. события А и В зависимы. Действительно, после того, как событие А произошло, т.е. вынули белый шар, в урне осталось 11 шаров, из них 3 белых. Следовательно, вероятность того, что 2-й вынутый шар окажется белым, будет равна 3/11. Если же событие А не произошло, то вероятность события А будет другой (если первый вынутый шар оказался чёрным, то вероятность события В равна 4/11). Если произошли оба события А и В, это означает, что произошло событие АВ (оба вынутых шара белые). Вычислим вероятность события АВ, не прибегая к понятию зависимых событий.
Заметим, что условие данной задачи равносильно следующему: из урны вынимаются сразу 2 шара. Вероятность события АВ (оба вынутых шара белые) можно вычислить, не прибегая к понятиям зависимых событий, по формуле (4.4.1) задачи о выборке для выборки 2 шаров из 12 (N=12, M=4, n=2, m=2):
