4.2. Задача о выборке

Пример 1. Испытание состоит в заполнении карточки спортлото 6 из 49. Найти вероятность того, что будет угадано ровно 4 номера.

Общее число исходов равно . Исход является благоприятствующим, если 4 номера выбираются из 6 выигрышных номеров, а 2 оставшихся – из 43 невыигрышных (см. рис.4.4.1). По правилу умножения комбинаторики число благоприятствующих исходов

Рис.4.4.1. Выборка 4 из 6

Сформулируем задачу о выборке в общем виде.

Пусть имеется N объектов, М из которых обладают некоторым признаком х. Наугад выбирается n объектов. Какова вероятность того, что среди них m объектов обладают признаком х?

Общее число элементарных исходов равно , т.к. мы можем выбрать комбинацию из п объектов способами. Событие А есть извлечение выборки из n объектов, из которых m обладают признаком х (см. рис.4.4.2). Исходом, благоприятствующим появлению события А, является появление группы из n объектов, в которой m объектов обладают признаком х, а nm объектов  не обладают. Число таких групп по правилу умножения равно , т.к. группу из m обладающих признаком х объектов можно образовать способами, а группу из nm остальных объектов выборки  способами. Тогда искомая вероятность события А находится по классической схеме:

. (4.4.1)

Рис.4.4.2

Рис.4.4.3

Пример 2. Из 10 деталей 4 бракованные. Наугад выбираются 7 деталей. Какова вероятность того, что среди них бракованных: 1) три; 2) ни одной; 3) четыре; 4) одна.

В формуле (4.4.1) , т различно для каждого вопроса задачи.

1) ;

2) качественных деталей всего 6, поэтому в выборке не может быть 7 качественных деталей .

3) .

4) .

4.3. Геометрический подход к вероятности

Недостаточность «классического» подхода к вероятности, основанного на конечной группе равновозможных элементарных событий, отмечалась ещё в начале развития теории вероятностей. Для ряда практических задач требовалось построение понятия «вероятности» и в том случае, когда число исходов испытания было бесконечным. Например, вероятность попадания в цель при орудийной стрельбе, вероятность выигрыша в некоторых «геометрических» играх.

Расширение понятия «вероятности» в такого рода испытаниях сводится к следующему.

Пусть точка бросается наудачу в интервал [a; b]. Внутри этого интервала выделен другой – [c; d] (рис.4.5.1). Естественно предположить, что вероятность попадания точки в этот интервал пропорциональна его длине, т.е. чем больше интервал, тем вероятнее в него попадание точки. Можно также предположить, что вероятность не зависит от того, где находится этот интервал, т.е. вероятности попадания в разные интервалы одинаковой длины совпадают.

В таких условиях вероятность можно определить следующим образом:

,

Рис.4.5.1

т.е. вероятность того, что брошенная в [a; b] точка M попадет в [c; d], равна отношению длин этих отрезков.

Аналогичным образом определяют вероятность того, что точка, брошенная в область G, попадет в область g (рис.4.5.2):

,

Рис.4.5.2

т.е. вероятность такого события равна отношению площадей этих областей.

Пример 1. Рассмотрим мишень; изображённую на рис.4.5.3. Пусть круг имеет радиус R м и каждый выстрел обязательно попадает внутрь круга. Тогда вероятность попасть в треугольник равна отношению площадей треугольника и круга. Площадь круга равна . Сторона правильного треугольника, вписанного в круг, равна , а высота . Площадь равностороннего треугольника, вписанного в круг, равна , где а – сторона треугольника. Следовательно, площадь треугольника равна , а вероятность попадания в треугольник – , что приблизительно равно 0,41.

Пример 2. Игра «монета в квадрате» заключается в следующем:

Рис.4.5.4	Рис. 4.5.5

Игрок бросает монету диаметром 0,75 дюйма с большого расстояния на стол, разграфленный на квадраты со стороной в один дюйм (один дюйм  2.54 см). Если монета попадает внутрь любого квадрата, то игрок получает награду, если монета пересекает границу квадратов, то он теряет монету (рис.4.5.4). Какую награду должен назначить хозяин стола, чтобы не «прогореть»?

Рассмотрим попадание в один квадрат. Пространство элементарных событий, соответствующее этому испытанию, состоит из упорядоченных пар чисел – координат центра монеты. Это пространство непрерывно и бесконечно.

Достаточно рассмотреть лишь попадание в один квадрат. Т.к. радиус монеты равен 0,375 дюйма, то для выигрыша игрока надо, чтобы центр монеты попал в заштрихованный квадрат со стороной 0,25 дюйма (рис.4.5.5).

Тогда вероятность выигрыша игрока равна отношению площадей квадратов, а т.к. площадь внешнего квадрата равна 1, то эта вероятность равна 0,25², или . Следовательно, игрок выигрывает в среднем один раз из 16. Если награда будет установлена меньше 16 монет, например, 10 монет, то хозяин никогда не будет оставаться в проигрыше.

Тема: Сложение и умножение вероятностей