Тема: Введение. Элементы комбинаторики

ВВЕДЕНИЕ

История развития теории вероятностей.

Предмет теории вероятностей

Вероятность – это важнейшее понятие в современной науке особенно потому, что никто совершенно не представляет, что оно означает.

Бертран Рассел.

Первые задачи по вычислению вероятностей появились в XVII веке в работах французов Блеза Паскаля (1623-1662) и Пьера Ферма (Fermat, 1601-1665), швейцарца Якоба Бернулли (Bernoulli, 1654-1705), голландца Христиана Гюйгенса (Huygens, 1629-1695) и др. в связи с азартными играми (карты, кости, и т.д.). В XVIII и в начале XIX вв. в работах англичанина Абрахама де Муавра (1667-1754), датчанина А.К.Эрманга (1878-1929), французских ученых Пьера Симона Лапласа (Laplace, 1749-1827), Симеона Дениса Пуассона (Poisson, 1781-1840), Жоржа Бюффона (Buffon, 1707-1788) и др. появились первые результаты, связанные в основном с биномиальным распределением. Однако к этому времени не были еще чётко разработаны основные методы теории вероятностей, поэтому попытку некоторых учёных применять теоретико-вероятностные методы в прикладных задачах иногда приводили к результатам, не соответствующим реальным фактам. Это привело к тому, что к середине XIX века теория вероятностей стала непопулярной среди математиков. И лишь в России в начале ХХ века в трудах русских ученых Петербургского университета П.Л.Чебышева, А.М.Ляпунова, А.А.Маркова эта наука получила дальнейшее развитие.

Теория вероятностей – это наука о вычислении вероятностей случайных событий. Первоначально в ней изучались лишь стационарные явления. Необходимость исследования изменения процессов во времени послужила толчком к развитию теории вероятностей, а также к развитию, а иногда и появлению новых отраслей науки, таких, как квантовая механика, теория случайных процессов, теория надёжности, теория массового обслуживания, теория игр и др.

После введения советским ученым А.Н.Колмогоровым в 1933 г. аксиоматики теория вероятностей стала полноправной математической наукой, имеющей многочисленные применения в естественных науках (физике, биологии), технике, социологии, криптографии (науке о шифрах), военном деле и т.п. Например, в криптографии применяется метод стойкого шифрования (в отличие от слабого) с помощью случайных чисел. Если противнику не известен ключ, то перехваченный им шифр не может быть прочитан.

Однако даже в середине ХХ века бывали случаи, когда математикам приходилось защищать теорию вероятностей от обвинений в ненаучности некоторых её приложений. Например, в 30-40-е годы, в период гонений в нашей стране на генетику, многие законы которой обосновывались с помощью теории вероятностей, в газетах и псевдонаучных статьях появились высказывания типа «случайность – враг науки» и «природа не играет в кости». Русский ученый А.Я.Хинчин, обогативший теорию вероятностей целым рядом выдающихся результатов, сказал: «Да, это верно, случайность – враг науки, но врага надо изучать, а это делает теория вероятностей».

1. Элементы комбинаторики.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Комбинаторика возникла в XVI веке, т.е. раньше теории вероятностей. В жизни привилегированных слоев общества большое место занимали азартные игры. Одним из первых занялся подсчётом числа различных комбинаций в игре в кости итальянский математик Никколо Тарталья (Tartaglia, ок. 1500-1557). Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке ученые Б.Паскаль и П.Ферма. Развитие комбинаторики связано с именами Якоба Бернулли, Готфрида Вильгельма Лейбница (Leibniz, 1646-1716) и Леонарда Эйлера (Euler, 1707-1783).

В последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний, для составления планов производства и реализации продукции. Комбинаторика используется при решении задач линейного программирования, статистики, теории групп, геометрии, криптографии. Применяется также химиками при изучении расположения молекул, конструкторами, агрономами, биологами, и т.д.

Рассмотрим объекты (элементы) любой природы. Например, будем вынимать шары из урны, как это принято в теории вероятностей. Пусть в урне находится m белых и n чёрных шаров. Рассмотрим задачу о том, сколькими способами можно получить ту или иную комбинацию шаров. Под комбинацией будем понимать множество (последовательность) объектов, например, комбинацию из одного шара А  сам шар: {A}; комбинация из двух шаров  пара шаров, расположенных один за другим: {A, B}; из трёх шаров: {A, B, C}, и т.д. Если каждому объекту множества присвоен порядковый номер, то такое множество называется упорядоченным. Упорядоченные множества обычно обозначаются как последовательность элементов в круглых скобках, например, (А, В). Из неупорядоченного множества {A, B} можно получить две упорядоченные пары: (А, В) и (В, А). Например, из неупорядоченной пары {ч,б} (чёрный шар, белый шар) можно получить (ч,б) и (б,ч). Множество из трех объектов {A, B, C} (неупорядоченная тройка) можно упорядочить шестью способами: (А, В, С), (А, С, В), (В, А, С), (В, С, А), (С, А, В), (С, В, А) (упорядоченные тройки).

Задача 1. Сколькими способами можно вынуть один какой-либо шар (белый или чёрный) из урны?

Очевидно, что белый шар можно вынуть m способами, а чёрный – n способами. Тогда всего будет m+n способов. Об этом же говорит и принятое в комбинаторике

Правило суммы (правило сложения). Если объект А можно выбрать m способами, а объект В – n способами, то осуществить выбор объекта А или В можно m+n способами.

Т.к. других шаров в урне нет, то m+n – это общее количество шаров в урне. Если же в урне имеются шары другого цвета, например, красные, то m+n не равно общему количеству шаров в урне.

Задача 2. Сколькими способами можно получить неупорядоченную пару «белый шар – чёрный шар»?

Будем рассуждать так: белый шар можно выбрать m способами, а к каждому из выбранных белых шаров можно взять в пару каждый из чёрных шаров. Следовательно, можно предположить, что число возможных пар равно mn. В комбинаторике об этом гласит

Правило произведения (правило умножения). Если объект А можно выбрать m способами, а объект В – (после этого выбора) n способами, то выбор пары (А, В) можно осуществить mn способами.

Можно сначала выбрать чёрный шар п способами, а к нему белый шар т способами.

Пример 1. Сколькими способами можно получить пару: два белых шара?

Первый шар можно выбрать т способами, второй  т–1 способами. По правилу произведения пару из двух белых шаров получим способами.

Пример 2. На главные роли в фильме пробуются 4 актера М₁, М₂, М₃ и М₄ и 2 актрисы W₁ и W₂. При этом известно, что M₁ и W₂ не подходят друг к другу по росту, а M₄ и W₁ психологически несовместимы. Сколько имеется вариантов состава исполнителей?

Ответ: 42–2=6.

(Всего пар 4х2, но 2 не годятся).

Замечание. Правила суммы и произведения можно распространить на любое число объектов (а не только для двух – А и В). В этом случае речь будет идти уже не о паре (А, В), а о некоторой комбинации (последовательности) большего числа элементов (A, B, C,…, Z).