10. Числовые характеристики случайного вектора.

190. Как определяются начальные моменты случайного вектора?

α_{k1, k2,..., kn}(x₁, x₂,..., x_n)=M[x₁^k1 x₂^k2... x_n^kn]

191. Как определяются центральные моменты случайного вектора?

X^○=X-M[X]

μ(k₁, k₂,..., k_n)=M[(x₁^○)^k1(x₂^○)^k2...(x_n^○)^kn]

192. Записать формулы для вычисления начальных моментов двумерных дискретных случайных величин.

193. Записать формулы для вычисления начальных моментов двумерных непрерывных случайных величин.

194. Чему равны начальные и центральные моменты нулевого порядка двумерной случайной величины?

195. Чему равны начальные и центральные моменты первого порядка двумерной случайной величины?

196. Чему равны центральные моменты второго порядка двумерной случайной величины?

197. Дать определение корреляционного момента.

Корреляционный момент характеризует степень тесноты линейной зависимости величин X и Y и рассеивание их значений относительно точки (m_X, m_Y).

198. Перечислить основные свойства корреляционного момента.

199. Записать формулу для вычисления корреляционного момента дискретных случайных величин.

?

200. Записать формулу для вычисления корреляционного момента непрерывных случайных величин.

?

201. Чему равна дисперсия суммы двух случайных величин?

, если величины независимые.

202. Чему равно математическое ожидание произведения двух случайных величин?

, если величины независимые.

203. Как связаны понятия независимости и некоррелированности случайных величин? Ответ обосновать.

Если величины независимы – они некоррелированы, но обратное в общем случае неверно:

204. Дать определение коэфициента корреляции.

Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости величин и равен:

205. Перечислить основные свойства коэффициента корреляции.

206. В каких границах могут находится значения корреляционного момента и коэффициента корреляции?

207. Чему равен коэффициент корреляции двух случайных величин, связанных линейной зависимостью?

208. Каков смысл корреляционного момента и коэффициента корреляции?

Корреляционный момент характеризует степень тесноты линейной зависимости величин X и Y и рассеивание их значений относительно точки (m_X, m_Y). Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости величин.\

209. Дать определение корреляционной матрице. Какие у неё свойства?

Корреляционной матрицей называется матрица такого вида:

со следующими свойствами:

210. Дать определение матрице коэфициентов корреляции. Какие у неё свойства?

Матрицей коэфициентов корреляции называется матрица такого вида:

со следующими свойствами: ?

11. Основные распределения случайных величин.

211. Вырожденное распределение и его характеристики.

Случайная величина ξ имеет вырожденное распределение с параметром а, и пишут ξ  I_a если ξ принимает единственное значение а с вероятностью 1, то есть P(ξ = a) = 1.

1. Первая причина по которой исп. выр. величины: что в множество СВ. входят в качестве подмножеств обычные числа

2. Вырожденное распределение является моделью идеального измерительного прибора.

212. Дать определение распределению Бернулли.

Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р, и пишут ξ  В_р, если ξ принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и 1 - р, соответственно. Случайная величина ξ с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха (0 успехов или 1 успех).

213. Вычислить мат. Ожидание и дисперсию СВ. имеющей распределение Бернулли.

Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	0	1
Р	(1-p)	Р

Мат. Ожидание равно:

Дисперсия -

214. Дать определение биноминального распределения.

Говорят, что случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где 0  p , n и пишут ξ  В_n,р, если ξ принимает значения 0, 1, …,n с вероятностями P(ξ = k) = C_n^k p^k (1-p)^n-k . Случайная величина ξ с таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р .

Таблица распределения ξ имеет вид

215. Как связаны биноминальное распределение и распределение Бернулли?

Сохраняются все предположения сделанные в схеме Бернулли. Дополняются тем что производится n – незав. испытаний, в каждом из которых вер. P одинакова.

В результате таких испытаний имеем:

СВ. ξ – число успехов в схеме Бернулли

216. Вычислить мат. ожидание СВ., имеющей биноминальное распределение.

1). ξ _k – СВ. Бернулли

2). ξ _k - независимые, одинаково распределенные.

217. Вычислить дисперсию СВ., имеющей биноминальное распределение.

На основе выше сказанного (условия)

218. Дать определение распределения Пуассона.

Случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ, где λ > 0 , и ξ  П _λ, если ξ принимает значения 0, 1, 2 … с вероятностями. Где λ – параметр распределения Пуассона. Функция распределения приближается к 1 асимптотически ( )

Таблица распределения ξ имеет вид

219. Вычислить мат. ожидание величины имеющей распределение Пуассона.

220. Записать формулу плотности вероятности нормального распределения. Нарисовать ее график.

221. Записать формулу функции распределения нормального распределения. Нарисовать ее график.

222. Как определяется функция Лапласа? Нарисовать ее график.

при х>5 F~0.5

223. Перечислить основные св-ва функции Лапласа.

1. Функция Лапласа нечётная.

2. Функция Лапласа монотонно возрастающая.

3. Ф()= 0.5

4. Ф(-)= -0.5

5.

6.

224. Выразить функцию распределения гауссовской случайной величины через функцию Лапласа.

225. Сформулировать правило 3х сигм.

При однократном испытании значение гаусовской СВ. попадут в интервал с вероятностью практически равной 1.

226. Вычислить мат. ожидание СВ., имеющей нормальное распределение

Пропущен один этап (перед ответом) там разбивается на 2 интеграла один из них равен 0, второй m.

227. Записать формулу плотности вероятности нормального распределения. Нарисовать ее график.

228. Записать формулу функции распределения равномерного распределения. Нарисовать ее график.

229. Вычислить мат. ожидание равномерного распределения.

230. Чему равна дисперсия случайной величины с равномерным законом распределения

231. Записать формулу плотности вероятности показательного распределения. Нарисовать ее график.

232. Записать формулу функции распределения показательного распределения. Нарисовать ее график.

233. Вычислить мат. ожидание СВ. С показательным законом распределения.

Найдем для произвольного k  N момент порядка k.

В последнем равенстве мы воспользовались гамма-функцией Эйлера:

Соответственно,

234. Вычислить дисперсию СВ. с показательным законом распределения.

Включая инф. Из 233