9. Числовые характеристики случайной величины.

142. Дать определение мат. ожидания СВ.

Мат. ожидание СВ.  с функцией распределения F(x) называется действительное число m, определяемое следующей формулой

если указанный интеграл абсолютно сходится.

142. Привести формулу для вычисления мат. ожидания дискретных С.В.

если указанный ряд абсолютно сходится

142. Привести формулу для вычисления мат. ожидания непрерывных СВ.

142. Привести формулу для вычисления мат. ожидания смешанных СВ.

+

142. Перечислить основные св-ва мат. ожидания (МО)

1. Математическое ожидание const равно этой const E(с) = с.

С – вырожденная СВ. принимающая одно значение с вер. «1». Найдите ее МО.

2. const можно вынести за знак математического ожидания: E(с ξ) = с Eξ.

Доказательство. Достаточно расписать МО и затем вынести «с» за знак суммы.

3. Математическое ожидание суммы любых случайных величин ξ и η равно сумме их математических ожиданий.

E (ξ + η ) = E (ξ )+ E (η)

Доказательство. Для величин с дискретным распределением: пусть x_k и y_n — значения ξ и η, соответственно.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.: если ξ и η независимы, то

E (ξη) = Eξ Eη.

Доказательство.

142. Чему равно МО постоянной величины. Доказать.

143. Чему равно МО произведения постоянной и случайной величины. Доказать

144. Чему равно МО суммы СВ. Доказать.

145. Чему равно МО произведения СВ. Доказать.

146. Какой смысл имеет МО СВ?

МО – среднее значение СВ, которое не всегда совпадает со значением дискретной СВ.

142. Какие единицы измерения имеет МО. Обосновать ответ.

МО является линейной функцией от СВ., (вероятность не имеет размерности) имеет размерность СВ.

142. Как определяется дисперсия СВ.

Дисперсия Dξ = E(ξ – Eξ)² есть «среднее значение квадрата отклонения случайной величины ξ от своего среднего».

142. Привести формулу для вычисления дисперсии дискретных СВ.

142. Привести формулу для вычисления дисперсии непрерывных СВ.

142. Привести формул для вычисления дисперсии смешанных СВ. +

143. Какой смысл имеет дисперсия СВ.

Если говорить о распределении случайной величины, как о распределении единичной массы по невесомому стержню, то дисперсия есть в точности момент инерции этого стержня, закрепленного в центре тяжести.

142. Перечислить основные св-ва дисперсии.

1. если и только если ξ= const.п.н.

2.

3. Если ξ и η независимы, то

Действительно,

так как математическое ожидание произведения независимых с.в. равно произведению их математических ожиданий.

4.  - Средне Квадратическое Отклонение

142. Чему равна дисп. постоянной величины. Доказать

143. Чему равна дисп. постоянной величины умноженной на СВ. Доказать

144. Чему равна дисп. суммы независимых СВ.Доказать. См. выше.

145. Какие единицы измерения дисперсии?

Единицы измерения такие же как у СВ. возведенные в квадрат.

142. Дать определение СКО. Какие единицы измерения СКО?

СКО величина численно равная корню квадратному из дисперсии, характеризует пологость графика плотности вероятности. (чем больше тем график более пологий). Размерность: совпадает с СВ.

142. Записать неравенство Чебышева.

142. Как определяется центрированная величина.

Центрированная СВ. – определяется как величина с МО.

142. Чему равно МО центрированной СВ. Доказать.

142. Чему равно дисперсия центрированной СВ. Доказать.

142. Как определяется нормированная СВ.

142. МО нормированной СВ. Доказать.

142. Дисперсия нормированной СВ. Доказать.

142. Как определяется стандартная СВ.

Как СВ. с нулевым. МО. и единичной дисперсией.

142. Чему равно МО. стандартной СВ.

142. Чему равна дисперсия стандартной СВ.

142. Дать определение начальных моментов СВ.

Начальным моментом порядка «к» СВ.  с ФР. F(x), наз. Действительное число которое определяется

142. Дать определение центральных моментов СВ.

Аналогично к начальным:

142. Какие единицы измерения начальных моментов СВ.

Как и у МО

142. Какие единицы измерения центральных моментов СВ.

Как у Дисперсии

142. Записать формулу для вычисления начальных моментов дискретных СВ.

142. Записать формулу для вычисления начальных моментов непрерывных СВ.

142. Записать формулу для вычисления центральных моментов дискретных СВ.

142. Записать формулу для вычисления центральных моментов непрерывных СВ.

142. Записать формулу выражающую дисперсию через начальные моменты СВ.

142. Записать формулу выражающую центральные моменты СВ через ее начальные моменты.

для к>=2

142. Дать определение коэффициента асимметрии

142. Какие единицы измерения имеет коэффициент асимметрии.

Кажись безразмерный.

142. Какой смысл коэффициента асимметрии.

Явл. мерой асимметричности распределения.

142. Дать определение коэффициента эксцесса

142. Какие единицы измерения имеет коэффициент эксцесса

Тоже безразмерная

142. Какой смысл коэффициента эксцесса.

Характеризует меру затянутости хвостового распределения.