2. Случайные события

16. Как определяется пространство элементарных событий?

ПЭС – это множество всех теоретически возможных исходов эксперимента.

17. Какими бывают ПЭС?

Конечными (ограниченное число элементов, которые можно пересчитать), счётными (бесконечное число элементов, которые можно пронумеровать) и несчётными (неограниченное число элементов, которые невозможно пронумеровать).

18. Привести примеры конечных ПЭС.

Из урны с 3 белыми и 2 чёрными шариками наудачу извлекают 2 шарика.

ПЭС эксперимента: {ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ} – если порядок извлечения имеет значение, или

{ББ, ЧБ, ЧЧ} – если порядок извлечения не имеет значения.

Проводится однократное бросание монетки.

{Г, Р}

Проводится однократное бросание кубика.

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

19. Привести примеры счётных ПЭС.

Производится бросание монеты до первого выпадения герба.

{Г, РГ, РРГ, …, Р…РГ, …}

Производится стрельба по мишени до первого попадания.

{По, ПрПо, ПрПрПо, …, Пр…ПрПо}

Из множества натуральных чисел выбирают одно.

{1, 2, 3, 4, …}

20. Привести примеры несчётных ПЭС.

Производится стрельба по мишени, попадание гарантировано.

{(х,у) х² + у² <= R²}

Производится стрельба по мишени, попадание не гарантировано.

{(х,у) х, у Є (-беск.; +беск.)}

21. Как определяется случайное событие для дискретных ПЭС?

22. Как определяется достоверное событие?

Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, то есть единственное событие, включающее все без исключения элементарные исходы — событие Ω.

23. Как определяется невозможное событие?

Невозможным называется событие которое не может произойти в результате эксперимента, то есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ). Заметим, что всегда   Ω.

24. Какие события называются связанными?

События А и В называются связанными, если событие А влечёт за собой событие В (при осуществлении А всегда происходит В).

25. Какие события являются равносильными?

События А и В называются равносильными, если они являются взаимосвязанными.

26. Как определяется произведение событий?

Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее из элементов, одновременно входящих и в А, и в В.

27. Какие события называются несовместными?

События А и В называются несовместными, если они не имеют общих элементов, т. е.

28. Как определяется сумма событий?

Суммой двух событий А и В называется событие, элементы которого входят как в А, так и в В.

29. Как определяется разность событий?

Разностью событий А и В называется событие, в которое входят все элементы А за исключением элементов, входящих в В.

30. Как определяется противоположное событие?

Противоположными событием называется такое событие , которое удовлетворяет одному из следующих условий:

31. Что называется полной группой событий?

События образуют полную группу, если для них одновременно выполняются следующие условия:

32. Какое наименьшее и наибольшее количество событий может содержать полная группа событий?

Минимум – 2;

Максимум: если - несчётна, то максимальное число полных групп несчётно при фиксированном n

Если - дискретна, то при фиксированном n максимальное число полных групп совпадает с числом элементарных событий.

4. Условная вероятность

52. Как определяется условная вероятность?

Условной вероятностью p(В/А) называется вероятность события В, вычисленная при условии (в предположении), что событие А произошло.

53. Доказать, что условная вероятность неотрицательная.

54. Сформулировать и доказать свойство нормированности условной вероятности.

55. Сформулировать и доказать свойство аддитивности условной вероятности

Если А и В – независимые.

56. Чему равна условная вероятность для несовместных событий? Обосновать ответ.

57. Чему равна условная вероятность для связанных событий? Обосновать ответ.

исходя из определения связанности событий (События В и А называются связанными, если событие В влечёт за собой событие А)

58. Почему условная вероятность является функцией?

Условная вероятность является функцией, поскольку изменения В влияет на эту вероятность (т.е. УВ зависит от В).

59. Как изменяется вероятностное пространство при введении условной вероятности?

Введение условной вероятности сужает вероятностное пространство.

60. Чему равна вероятность произведения двух событий?

61. Привести формулу умножения вероятностей для произвольного числа событий.

Пусть иметься события

62. Привести условие независимости двух событий.

1)

2)

63. Дать определение независимости произвольного числа событий.

-называются независимыми в совокупности при выполнении условия

,

64. Привести формулу сложения вероятностей для двух независимых событий.

Р(А)+Р(В)=Р(А+В)+Р(АВ)

65. Показать что из независимости событий А и В следует независимость А и .

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Р( *В)=Р((1-А)*В)=Р(В-АВ)=Р(В)-Р(АВ)=Р(В)-Р(А)*Р(В)=Р(В)*(1-Р(А))=Р(В)*Р( )

66. Показать что из независимости событий А и В следует независимость и В.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

P(A* )=P(A*((1-B))=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)*P(B)=P(A)*(1-P(B))=P(A)*P( )

67. Являются ли два несовместных события независимыми? Обосновать ответ.

если события несовместны, то они независимы, если и только если P(A) = 0 или P(B) = 0

АВ=0

Р(АВ)=0

Р(А) и Р(В) не равны нулю, значит

Р(А)*Р(В) не равно нулю, значит

Р(АВ) не равно Р(А)*Р(В) - не выполняется условие независимости

68. Привести формулу полной вероятности.

69. Привести формулу Байеса.

70.Доказать формулу полной вероятности.

предположим что А – отсутствует.

-формула Байеса

71. Доказать формулу Байеса.

Пусть имеет место равенство . Требуется найти вероятность события , если известно что В произошло. Согласно теореме умножения имеем: . Отсюда ; используя формулу полной вероятности, находим

5. Независимые испытания.

72.Привести пример независимых испытаний.

Примером является Урновая схема с возвращением

73. Что такое схема Бернулли?

Схемой Бернулли называется последовательность n независимых испытаний в каждом из которых может осуществляться А или , причем вероятность успеха не уменьшается при испытании испытаний.

74. Привести пример последовательности испытаний, описанных схемой Бернулли.

Многократное бросание кости

75. Какая основная задача решается при рассмотрении схемы Бернулли?

Задача нахождения вероятности того что в n испытаниях успех произойдет ровно k раз.

76. Как описывается элементарное событие в схеме Бернулли?

В первой скобке k-множителей, а во второй (n-k)- множителей.

77. Сколько элементарных событий содержит пространство элементарных событий в схеме Бернулли? Обосновать ответ.

2 -«успех» и «неудача», А и , потому что мы рассматриваем одну случайную величину.

78. Чему равна вероятность элементарных событий в схеме Бернулли? Обосновать ответ.

79. Сколько элементарных событий имеют одинаковую вероятность в схеме Бернулли?

80. Записать формулу Бернулли.

81. Какое значение может принимать число успехов в схеме Бернулли?

Число К-успехов в n-испытаниях.

82. Что такое наиболее вероятное число в схеме Бернулли?

-наиболее вероятное число в схеме Бернулли.

83. Как найти наибольшее вероятное число в схеме Бернулли?

84. Сколько значений может принимать наиболее вероятное число в схеме Бернулли? Обосновать ответ.

единственное число k₀ = [np + p], если число np + p не целое;

два числа k₀ = np + p и k₀ -1= np + p -1, если число np + p целое.

85. Как найти минимальное число испытаний в схеме Бернулли, при котором успех осуществляется хотя бы один раз с заданной вероятностью?

86. Чему равна вероятность того, что успех в схеме Бернулли осуществится хотя бы один раз? Обосновать ответ.

87. Как определяется полиномиальная схема?

Полиномиальная схема-обобщение схемы Бернулли. Полиномиальной схемой называется последовательность из n независимых испытаний в каждом из которых может произойти одно из событий причем вероятность этих событий не изменяется от испытания к испытанию.

88. Привести пример последовательности испытаний, описанных полиномиальной схемой.

Примером служит задача: В коробке 400 резисторов. 20 штук номиналом 1 Ом, 50 штук -5 Ом, 30 штук -10 Ом. Электрик берет не глядя 120 резисторов. Найти вероятность того что 2 номиналом 1 Ом, 7- номиналом 5 Ом и 3-номиналом 10 Ом.

89. Как описывается элементарное событие в полиномиальной схеме?

90. Сколько событий содержит пространство элементарных событий в полиномиальной схеме? Ответ обосновать.

91. Чему равна вероятность элементарного события в полиномиальной схеме? Обосновать ответ.

92. Сколько элементарных событий в полиномиальной схеме имеют одинаковую вероятность?

93. Записать полиномиальную формулу.