45. Вывести вырежение для коэффициента линейного расширения, связав его с величиной .
Расписываем производные через якобиан, используя его свойства:
46. Найти коэффициент линейного расширения и вычислить для кристалла, движение атомов которого описывается моделью линейного ангармонического осциллятора.
Так активно используемое выше при анализе тепловых колебаний атомов и теплоёмкости решётки гармоническое приближение справедливо только при малой энергии энергии колебаний, т.е. при достаточно низких температурах. При повышении температуры становится существенным ангармонический характер колебаний, обусловленный асимметрией кривой зависимости энергии взаимодействия частиц от расстояния между ними. Учёт ангармонизма колебаний атомов приводит к поправкам к теплоёмкости при высоких температурах (при низких температурах эти поправки малы и практически не влияют на теплоёмкость). Ангармонический характер колебаний атомов подтверждается наличием теплового расширения твёрдых тел, описываемого с помощью сохранения членов 3-го и более высоких порядков в разложении потенциальной энергии решётки U(x) относительно смещений атомовx:
В данной формуле член с x3описывает ассиметрию взаимного отталкивания атомов, член сx4- - сглаживание колебаний при больших амплитудах.
Т.к. выбор начала отсчёта потенциальной энергии произволен (относителен), то мы всегда можем занулить U0путём сдвига начала координат.
Отсюда получаем вырражение для функции состояния:
Разлагая подынтегральные веражения по степеням малых величин βиγ , получим:
В последних двух интегралах подынтегральные функции являются нечётными по x, следовательно, в симметричных пределах они зануляются. В первых же двух интегралах подынтегральные функции являются чётными поx, , следовательно, в симметричных пределах:
аналогично для
-
также остаются только 2 интеграла:
Подставляя все полученные “зелёные” ответы в наше выражение для <X2>, получим:
Семинар № 12.
47. Рассчитать намагниченность электронного газа, считая, что электроны независимы.
Если не учитывать влияние магнитного поля на орбитальное движение электрона (т.е. электрон обладает спиновым магнитным моментом, но не имеет заряда), вклад электрона в намагниченность:
- если спин сонаправлен с полем;
- если спин направлен противоположно
полю.
- намагниченность.
В отсутствие поля (
)
- число электронов с определённым
значением спина и энергией: от
до
Плотность уровней:
,
,
При
:
,
,
откуда
P.S. Извините, если что не так,
Юрий Николаевич
отделывавший
материал сотрудник
(всё той же кафедры) М.Ф.
|
|
n, *1022 см-3
|
rS, A |
λ, см |
l, A |
ρ, мкОм*см |
τ, *10-14 c |
σ, *106 c-1 |
RH *10-24 |
ωp *1015 |
KD A-1 |
|
Li |
4,58 |
1,73 |
87,6 |
10,4 |
8,55 |
0,90 |
10,4 |
-1,5 |
12,1 |
1,40 |
|
Na |
2,53 |
2,12 |
158,5 |
39,1 |
4,2 |
3,37 |
21,6 |
-2,7 |
9,0 |
1,14 |
|
K |
1,33 |
2,62 |
301,6 |
50,1 |
6,1 |
4,38 |
14,7 |
-5,2 |
6,5 |
0,92 |
|
Rb |
1,08 |
2,81 |
370,4 |
34,8 |
11,0 |
3,00 |
8,2 |
-6,4 |
5,9 |
0,86 |
|
Cs |
0,84 |
3,06 |
476,2 |
26,2 |
18,8 |
2,26 |
4,8 |
-8,3 |
5,2 |
0,79 |