34. Вычислить концентрацию вакансий (причём равновесную) по Шоттки, пар Френкеля и дивакансий в моноатомном кристалле при конечной температуре.

Рассмотрим кристалл, в котором N узлов. При этом полагаем, что составляющие его атомы ничем не отличаются друг от друга (в плане нумерации). Тогда если в кристалле нет вакансий, тоNатомов могут быть распределены поNузлам только одним способом. Если появляется 1 вакансия, то она может быть распределена в кристаллеN шт. способами. При наличии 2 вакансий: число способов их распределения равноN(N-1), но т.к. мы считаем, что и вакансии идентичны, то это число снижается вдвое, т.е. получимN(N-1)/2. При наличии 3 вакансий: число способов их распределения равноN(N-1)(N-2)/6. Далее по аналогии получаем, что число равновероятных состояний, которые могут реализовать вакансий вN узлах, будет равно:

т.е. число способов реализации уменьшается за счёт перестановок (в количестве ), которые образуют между собой вакансий, что обусловлено идентичностью последних.

Домножая числитель и знаменатель в полученном выражении на получим окончательную формулу:

Пусть - энергия образования вакансии, тогда

Т.к. , где, то

,n_v<<N

Концентрация пар Френкеля

n₁ – число образовавшихся пар Френкеля

- число пар Френкеля, которые могут образоваться

Мы бы конечно могли подсчитать число комбинаций W для случая пар Френкеля и дивакансий, прикинув в уме все возможные распределения этих дефектов по решётке, если бы мы были какими-нибудь там херувимами или серафимами, но т.к. здоровье у нас ослаблено переходом от социализма к капитализму, то мы сразу воспользуемся формулами из лекций Залужного, читавшего у нас некогда курс дефектов КР.

Концентрация дивакансий

Так как энергия образования дивакансий ,то можно записать:

, где- энергия связи вакансий в дивакансии.

, , где

35. Вывести законы Фика.

Рассматриваем потоки частиц: J = J_слева – J_справа

,

f – частота столкновений

Второй закон

- уравнение непрерывности

36. Указать, как влияют на диффузию структура кристалла, температура, касательные напряжения.

1. Влияние структуры кристалла:

2. Влияние температуры:

Потенциальное поле, в котором движется междоузельный атом – колебательное ------>барьер

- свободная энергия активации, необходимая, чтобы медленно двигать междоузельный атом от дна к вершине потенциального барьера.

3. , µ - модуль сдвига

Семинар № 9.

37. Выразить значение средней энергии системы через статистическую сумму.

Среднюю энергию находящейся в тепловом равновесии квантовой системы с дискретным энергетическим спектром можно определить следующим образом. Относительная вероятность нахождения системы вn-м состоянии с энергиейпропорциональна множителю Больцмана. Вероятность этого состояния, нормированная к единице, будет:

- в знаменателе стоит статистическая сумма по всем состояниям системы. Средняя энергия системы

Это выражение можно представить в виде:

Это выражение показывает, что средняя энергия системы равна производной, взятой со знаком минус по обратной величине температуры от суммы состояний.