31. Исследовать движение электронов в одномерном периодическом потенциале. Исследовать случай сильной и слабой проницаемости барьера.

Решение.

Пусть мы имеем одномерный периодический потенциал U(x), ионы покоятся в точках его минимума, которые определяют нулевое значение энергии.

Рис.1Одномерный периодический потенциал U(x)

Будем рассматривать периодический потенциал как суперпозицию потенциальных барьеров v(x)cширинойa, центры которых находятся в точках(см. рис.2):

(1)

Рис.2 Частицы, падающие слева на один из барьеров, отделяющих друг от друга соседние ионы в периодическом потенциале изображённом на рис.1.

Падающая, прошедшая и отражённая волны обозначены стрелками, которые параллельны направлениям распространения и имеют длину, пропорциональную соответствующим амплитудам.

Пусть . Рассмотрим электрон, падающий слева на потенциальный барьер и имеющий энергию.

Так как при, в этих областях волновая функциябудет иметь вид:

(2)

В силу чётности потенциала функциятакже будет решением уравнения Шредингера с энергией.

Из (2) следует, что функция имеет вид (она описывает частицу, падающую на барьер справа):

(3)

Поскольку и- два независимых решения уравнения Шредингера для случая одного барьера, соответствующие одинаковой энергии, любое другое решение для той же энергии будет их линейной комбинацией:

,(4)

Учтём также, что в соответствии с теоремой Блоха функцию можно выбирать таким образом, чтобы для некотороговыполнялось соотношение:

(5)

Тогда при из (2) – (5) получим:

(6)

Пусть , где- фазовый сдвиг (изменение фазы прошедшей волны относительно падающей). Из условия сохранения электронов следует, что сумма вероятностей прохождения и отражения должна быть равна единице:

.(7)

(8)

Если подставить (6), (7), (8) в уравнение, получим:

(9)

Поскольку всегда меньше единицы, но стремится к ней при больших, левая часть выражения (9), рассматриваемая как функция от, обнаруживает поведение, представленное на рис.3. Для данногоразрешённые значения[и, следовательно, разрешённые энергии] определяются пересечениями кривой на рис.3 с горизонтальной линией, проведённой на высоте. Заметим, что значения, расположенные вблизи тех, в которых выполняется условие

,(10)

дают, поэтому они не являются разрешёнными ни при каком.

Рис.3 Характерный вид функции

Области запрещённых значений K заштрихованы

1. В случае, когда барьер является очень слабым:,,.

Тогда ,,

Найдём ширину запрещённой зоны:

,

b) В случае, когда барьер очень сильный, т.е.,:

стремится к нулю, левая часть лежит в пределах [-1, 1] только при, т.е.ширина запрещённой зоны велика.

Семинар № 8.

33. Показать, что в бесконечной изотропной матрице наличие изотропно несогласующейся сферы невозможно, если её равновесный размер отличается более чем на 15% от размера полости, в которую она внедряется.

Пусть - атомный объём растворяемого веществаА,- атомный объём растворяю­щего веществаВ.

Для того чтобы внедрить атом Ав веществоВнеобходимо сжать объёмдо, на это потребуется энергия, гдеk– модуль объёмного сжатия.

После внедрения атома растворяемого вещества и после снятия напряжения, равновесная энергия изменится на ,

где ,- средний атомный объём,- модуль сдвига.

Пусть - общее число атомов, тогда атомная концентрация растворённого вещества:

Относительное изменение объёма при изменении концентрации (с учётом того, что ):

.

,

где - атомные радиусы,- расстояние междуи,- относительное изменение диаметра внедряемого атома.

Для внедрения одного атома Анеобходима энергия. Для внедренияатомовАнужно затратить энергию. Аналогично дляатомовВ, внедряемых вА, необходима энергия.

Так как модуль сдвига матриц одинаков, то внутренняя энергия системы:

Постоянная взаимодействия , положим. Так как, то критическое значение деформационного параметра:

По закону Ричарда: энергия внедрения для смеси по порядку величины равна R,т.е.

, где- теплота плавления.

По правилу Брегга:

, где- молярный объём.