Семинар № 4.

14. Вычислить константы в законе Видемана-Франца в теории Зоммерфельда.

В теории Зоммерфельда а т. к.то:

откуда видно, что:

учтя чтополучим з-н Видемана-Франца:

15. Пересчитать значение параметров для эффекта Зеебека в теории Зоммерфельда.

Вследствие того, что то из областей с более высокими температурами электроны движутся с большей скоростью =>на границах возникает заряд.

Проводимость равна

Итак параметр в эффекте Зеебека равен:

“ Понять – значит упростить”, – завещал нам наш лектор.

Поэтому мы упрощаем себе задачу, не приводя в данной работе содержания некоторых задач (по причине их комплексности, пугающего объёма или попросту халатного упущения их из виду), а просто пробежав по ним намётанным взглядом, что связано с катастрофической нехваткой времени, так нагдо утекающего на их набирание. На эти задачи может также распространяться амнистия, объявленная всё тем же лектором в момент оформления заказа. Возможно также доделывание вышеупомянутых задач после установленного срока сдачи, т.к. это дело ещё одной бессонной ночи.

Даже мультфильм любимый

не посмотреть

17. Найти значение теплоемкости электронного газа в теории Зоммерфельда.

учитывая то, что число частиц не зависит от температуры имеем:

и тогда:

где E₀- плотность энергии в основном состоянии.

Для свободных электронов плотность уровней:

итак:

18. Найти сжимаемость К и модуль всестороннего сжатия В.

Учтя что ,можно рассчитать сжимаемость К и модуль всестороннего сжатия В:

Поскольку энергия Е пропорциональна и из того, чтоследует что Р зависит от V каки поэтомуили

дин/см²

Металл	B, 1010 дин/см2
Li	23,9
Na	9,23
K	3,19
Rb	2,28
Cs	1,54

19. Вычислить давление в электронном газе для щелочных металлов.

Если известна энергия основного состояния Е, то можно рассчитать давление, оказываемое электронным газом, используя соотношение:

.

Поскольку

и энергия пропорциональна величине

()

которая зависит от объема Vтолько через множитель ,получаем:

Семинар № 5.

20. Получить уравнение для коэффициентов разложения волновой функции по плоским волнам в периодическом потенциале.

Периодический потенциал: гдеG– вектор обратной решетки.

Волновую функцию можно представить рядом Фурье, в виде суммы по всем значениям волнового вектора, разрешенным граничным условием (), а именно в виде

, причем К - вещественно.

Определим коэффициенты С(К) в разложении Фурье. Подставим разложение для волновой функции в уравнение Шредингера:

Используем свойство ортогональности различных Фурье-компонент:

Домножим обе части уравнения на и проинтегрируем поdx:

тогда наше уравнение запишется в виде:

Введем параметр и подставим его в последнее уравнение:

из этого уравнения несложно выразить коэффициенты разложенияволновой функции по плоским волнам в периодическом потенциале:

.

21. Показать что средняя скорость электронов в периодическом потенциале на уровне, заданном номером зоны n и волновым вектором k, определяется выражением.

т.е. не зависит от времени. Определить тензор эффективных масс.

Чтобы решить задачу, сначала найдем производные их можно найти замечая что они являются коэффициентами при линейном и квадратичном поqчленах разложения:

а - собственное значение оператора. Из теории возмущений:

если и нормированные собственные векторы, а также собственные значения определяются уравнением

то с точностью до второго порядка по VоператорHимеет следующие собственные значения:

из 1.1 и 1.2 следует что:

(Интегрирование ведется по одной примитивной ячейке.) Следовательно,

Если выразить этот результат через Блоховские функции он будет иметь вид:

так как - оператор скорости, то величина- средняя скорость электрона на блоховском уровне, задаваемом номером зоныnи волновым векторомk.

Найдем теперь тензор эффективных масс. Вычислим , уравнения 1.1 и 1.2 дают:

Если выразить этот результат через Блоховские функции он будет иметь вид:

следовательно,

итак обратный тензор эффективных масс: