Семинар № 1.

1. Найти плотность n электронов е^- в металлах. Ввести объём на 1е^- :,где r_s – радиус эквивалентной сферы. Вычислить плотность и радиус эквивалентной сферы для щелочных металлов.

N=νN_A=(m/M)N_A=ρVN_A/M; где ρ – плотность металла,

моль^-1

n=ρ N_A/M

=>

Вычисления:

n(Li)=;

;

n(K)=;

;

n(Cs)=;

2. Найти длину свободного пробега λ электронов, рассматривая их как газ твердых шаров с классическим радиусом.

е^-движется как диск с площадью поперечного сечения σ =r², образуя при этом цилиндр объёмаV=λσ, причём в нём содержится всего 1 этот самый е^-=>

Вычисления:

3. Найти значение стационарной проводимости σ для щелочных металлов. Извлечь величину τ (время релаксции). Найти значение длины свободного пробега электронов l из значения времени столкновения Друде. Сравнить с длиной свободного пробега λ, полученной в предыдущей задаче.

За времяΔt через площадку S пройдёт заряд: Q= -enSυ Δt =>

плотность тока:

Запишем уравнение движения электрона в проводнике:

В отсутствии тока Е=0, υ=0, следовательно const=0.

Время релаксации будем находить по формуле:

где ρ– удельное сопртивление металла (берём при температуре 273 К)

Вычисления:

4. Считая, что электроны в металле подчиняются статистике Максвелла, найти выражения и вычислить значения средней скорости, среднеквадратичной скорости, средней обратной скорости для электронов в щелочных металлах при комнатной температуре. Сравнить со скоростью электронов, обеспечивающей ток 10А в проводнике сечением .

По определению среднего (через функцию распределения):

Аналогично получаем выражение для среднеквадратичной и средней обратной скорости:

; гдеI– сила тока,j– плотность тока

Вычисления:

5. Выразить гамильтониан гармонического осциллятора через операторы рождения и уничтожения частиц.

Запишем известное выражение для гамильтониана системы:

, где ω – “классическая частота ” осциллятора, матрицы операторовисвязаны соотношением:

Далее расписываем наш гамильтониан, опуская для удобства значки ^ над операторами:

Получили произведение 2 следующих сопряжённых операторов (оператора уничтожения и рождения частиц соответственно):

при полученном выражении для гамильтониана получим:

если К₁ – состояние с 1 частицей (рассматриваем невзаимодействующие операторы),

- волновая функция системы без частиц, то при появлении 1 частицы получим:

;

Волновая функция состояния всех осцилляторов:

Семинар № 2.

6. Вычислить констату Холла для щелочных металлов. Рассмотреть установление стационарного режима в задаче Холла. Определить, при каких параметрах выполнено условие ωτ>>1.

Рассматриваем э/м поле с компонентами .

Используем формулу, полученную в лекции:

Знак минус говорит о том, что проводимость обеспечивается отрицательными зарядами.

На каждый электрон в проводнике действует сила:

Сложим 2 полученных уравнения системы:

После замены получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

где - марморовская частота прецессии, обусловленная вращением в магнитном поле.

Решение ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного:

Частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

При больших временах множитель первое слагаемое зануляется, а второе является решением стационарной задачи, т.е. когда у нас .