8.1Нахождение корней уравнения (подбор параметра)

Инструмент Подбор параметра используют для нахождения корней уравнения.

П ример. Найдем все корни уравнения х³ – 0,01 х² – 0,7044 х + 0,139104 = 0. Протабулируем функцию на отрезке [– 1; 1] с шагом 0,2. Из рисунка видно, что полином меняет знак на интервалах: [–1; – 0,8], [0,2; 0,4] и [0,6; 0,8]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома. Поскольку полином третьей степени имеет не более трех действительных корней, значит, локализованы все его корни. На вкладке Вычисления диалогового окна Параметры из меню Сервис зададим относительную погрешность и предельное число итераций, равными 0,00001 и 1000, соответственно. В качестве начальных значений приближений к корням можно взять любые точки из отрезков локализации корней.

Так, для нахождения первого корня установим курсор в ячейку В2 и вызовем Подбор параметра.

После нажатия кнопки ОК, в ячейке А2 появится приближенное значение корня равное – 0,91999. аналогично в ячейках А3 и А4 находим два оставшихся корня. Они равны 0,20999 и 0,71999.

8.2Нахождение корней уравнения методом деления отрезка пополам

Рисунок 5

Пусть непрерывная функция F(x) имеет значения разных знаков на концах отрезка [a, b], т.е. F(а) F(b) < 0, тогда уравнение F(x) = 0 имеет корень внутри этого отрезка, который называется отрезком локализации корня.

Пусть с = (а + b) / 2 – середина отрезка [a, b]. Если F(а) F(с) ≤ 0, то корень находится на отрезке [a, с], который примем за новый отрезок локализации корня, иначе за новый отрезок локализации корня возьмем [с, b]. Процесс деления отрезка локализации корня продолжаем до тех пор, пока его длина не станет меньше ε – точности нахождения корня. На Рисунок 5 приведены результаты нахождения корня уравнения х² – 2 = 0 с точностью 0,001.

В ячейку В1 введена погрешность нахождения корня. За первоначальный отрезок локализации корня выбран отрезок [0; 2]. В ячейки А4, В4, С3, D3, E3 и F4 введены соответствующие формулы

= ЕСЛИ(D3<=0; А3; С3)

= ЕСЛИ(D3<=0; C3; B3)

=(A3+B3)/2

=(A3^2-2)*(C3^2-2)

=C3^2-2

=ЕСЛИ(B3-A3<$B$1;"корень найден и равен " & ТЕКСТ(C3;"0,0000");" ")

8.3Задачи для самостоятельного решения

1. У клиента на депозитном счету $100 000, вложенные под 14% годовых.

1. сколько времени потребуется, чтобы он стал миллионером? (Ответ: 17,57 лет).

2. каков должен быть размер депозитного счета, чтобы клиент через 10 лет стал миллионером?

3. каков должен быть размер годовой процентной ставки, чтобы клиент через12 лет стал миллионером?

2. Найти все корни уравнения

1. x⁴ – 3x = 1

2. х ³ – 2,56 х² – 1,3251 х + 4,395006 = 0

3. х 3 + 2,84 х2 – 5,6064 х – 14,766336 = 0

4. х 3 + 1,41 х2 – 5,4724 х – 7,380384 = 0

3. Решите функциональное уравнение

1. используя инструмент Подбор параметра

2. методом деления отрезка пополам

Номер	функция	Отрезок [a,b]	Номер	функция	Отрезок [a,b]
		[2; 3]			[0; 1]
	0,1x2- x ln x	[1; 2]		ex- e-x- 2	[0; 1]
		[0; 0,9]			[-1; 0]
	sinx2+cosx2-10x	[0; 1]			[0; 0,9]
	2x sinx - cosx	[0,4; 1]		2ln2x+6lnx - 5	[1; 3]
	ex+ln x - 10x	[3; 4]			[2; 3]
	1+sinx - ln(1+x) -x	[0;1, 5]			[0,4; 1]