1. Понятие производной : Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как пределотношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Геометрический и физический смысл производной : Основная статья: Касательная прямая

Если функция   имеет конечную производную в точке   то в окрестности   её можно приблизить линейной функцией

Функция   называется касательной к   в точке   Число   является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

[Править]Скорость изменения функции

Пусть   — закон прямолинейного движения. Тогда   выражает мгновенную скорость движения в момент времени   Вторая производная   выражает мгновенное ускорение в момент времени 

Вообще производная функции   в точке   выражает скорость изменения функции в точке  , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью 

2. Производная сложной ф-ии : Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке  , а функция g имеет производную в точке  , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке  .

Дифференциал высших ф-ии : Дифференциал функции   в точке   может быть определён как линейная функция

где   обозначает производную   в точке  .

Таким образом   есть функция двух аргументов  .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция   линейно зависящая от   и для которой верно следующее соотношение

3. Производные высших порядков

Если функция   дифференцируема при всех  , то мы можем рассмотреть функцию  , сопоставляющую каждой точке   значение производной  . Эта функция   называется производной функции  , или первой производной от  . (Иногда саму исходную функцию   называют нулевой производной и обозначают тогда  .) Функция  , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках   интервала  , которую мы обозначим   и назовём второй производной функции  . Если предположить, что вторая производная   существует во всех точках  , то она может также иметь производную  , называемую третьей производной функции  , и т. д. Вообще,  -й производной функции   называется производная от предыдущей,  -й производной  :

если эта производная существует.  -я производная называется также производной  -го порядка, а её номер   называется порядком производной.

Дифференциалы высших порядков : Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции    в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

.

5) Неопределённый интеграл : Неопределённый интегра́л для функции   — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция   определена и непрерывна на промежутке   и   — её первообразная, то есть   при  , то

,

где С — произвольная постоянная.

Если  , то и  , где   — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

6) Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

7) Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла   проще, чем  . В противном случае применение метода неоправдано.

8) Дифф. 1го порядка : Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка. Если неизвестными являются функции двух или более переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. В противном случае, то есть если искомая функция зависит только от одного вещественного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом курсе будем иметь дело только с последними.

Так как во многих физических приложениях независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, то в дальнейшем, как правило, независимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через x, y, z и т.д.

Рассмотрим в первую очередь одно дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения следующий:

9) Дифф. 2го порядка : Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Порядок старшей производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Таким образом общий вид дифференциального уравнения n-го порядка следующий

,

10) Матрицей размера m на n (записывается так   )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа -номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицыобозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами:   - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

11) Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

14) Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла (устар. Мнимые числа^[2]), — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается  . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма  , где   и   — вещественные числа,   — мнимая единица^[3].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени   с комплексными коэффициентами имеет ровно   комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Алгебраическая форма : Запись комплексного числа   в виде  ,  , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что  ):