3.Исчисление предикатов 1-го порядка. Понятие о формальной аксиоматической системе.Выводимость (|-) в форм. Аксиом. Системе.Правило вывода modus ponens.

Df Формальная аксиоматическая система – система, в кот.заданы след.компоненты:

1.Алфавит А={A_0,…,A_n} – некоторое конечное непустое множество символов

2.Множество правильно построенных формул Ф А* в А задаётся грамматикой (набором правил); 3.Множество аксиом Г_0 Ф; 4. Правил вывода; позволяют получить из нескольких правильно построенных формул заключения. Df Вывод формулы f из множества формул Г — после­довательность {f_0,... ,f_n = f} где f_i получается применением правил вывода к некоторым формулам из Г {f_0,...,f_n = f} Df В этом случае говорят, что формула f выводимая из множества Г: Г |- f. Df Формула f выводимая в формальной аксиомати­ческой системе |-f, если Г_0 |- f. Df Исчисление предикатов - формальная аксиоматическая систе­ма с синтаксисом логики предикатов 1. Алфавит A = { , } Символы предикатов Символы термов. Df Терм: (a)Предметная константа a_i \in M - Уникальный объект предметной обла­сти; (b)Переменная x_i; (c)Функциональный терм f(t_1…t_n), арности n; (f^{(n)}), t_i – термы 2. Множество правильно построенных формул: • Атомарная формула P(t_1…t_n), P - предикативный символ арности n; t_i – термы; • Формулы вида неА, A V B, A B, A B, где A, B – правильные формулы; • Если F - правильная ф-ла со своб-й x то, ( x)F и ( x)F - пра­вильные со связанной x. 3.Множество аксиом Из логики высказываний: p (q p); (p (q r)) ((p q) (p r)); (неp неq) (q p) Новые: ( x)A(x) A(t); A(t) ( x)A(x) 4.Правила вывода: • Из логики высказываний (modus ponens.): A, A B |- B ; •Новые (A не содержит свободных вхождений переменную x): A B(x) |- A ( x) B(x); B(x) A |- ( x)B(x) A; •Правила замены (предикативная переменная на предикат).

4. Понятие о полноте, непротиворечивости и корректности логической системы. Связь логического вывода с общезначимостью. Тh о дедукции.

Полнота Df Формула F называются общезначимой |= F если она истинна во всех инте-рпретациях. Df Ф-ла F наз-ся выполнимой если она истинна хотя бы в одной интерпр-етации. Df Полное исчисление - то в кот.любая общезначимая ф-ла выводима: |= A |- A. Непротиворечивость 1.Формальная: A(( |- A) (|- неA). 2.Семантическая (досто-верность):|- A |= A.Тh(о дедукции). •Для высказываний: Г, А |- B Г |- A B, где Г произвольное мн-во логики высказываний. На основе теоремы: |=A  |- A. •Для пре-дикатов: Если Г, A |- B, при этом в процессе вывода не участвуют свободные пер-е из A, то Г|-A B.Тh(Гёделя о полноте) |=A |- A Любая общезначимая ф-ла выводима.

5.Алгоритмическая неразрешимость исчисления предикатов. Тh Черча. Th Геделя о неполноте формальной арифметики.

Полнота Th (Гёделя о полноте ) |=A |- A Любая общезначимая ф-ла выводима. Th (Гёделя о не полноте). Любая прикладная теория 1го порядка, со­держащая формаль-ную арифметику, не явл-ся полной теорией. такие истин­ные формулы |= F, что ни F ни неF не являются выводимыми, в соответствующем исчислении. Невозможно пол-ностью исследовать реальность формальными методами. Df Разрешимое исчисление - в котором, алгоритм проверки вы­водимости произвольной формулы в этом исчисле-нии, т.е. алгоритм, который по произвольной формуле за конечное время выдаст соот-ветствующий результат. Методы: • Синтаксический (построение логического вывода); • Семантический (таблицы истинности). Тh (Чёрча). Исчисление предикатов является неразрешимой теорией, т.е. не существует алгоритма установки общезначимости про-извольной формулы логики предикатов. Если некоторая ф-ла выводима в исчислении предикатов то факт ее выводимо­сти можно установить при помощи перебойного алгоритма (Строим цепочки всевоз­можных выводов). За конечное время установим цепочку вывода для общезначимой формулы. Для не общезначимой опровергнуть ее общезначимость не удастся.