26. Сбалансир-е деревья. Алгоритм добавления узла в сбалансир-е дерево.

Df Дерево называется сбалансир-м, если для каждого узла в дереве два поддерева этого узла содержат приблизит.равное кол-во элементов. Df Дерево •пустое дерево •структурный терм вида (t,), где – имя, t – произв. терм (узел дерева), – мн-во поддер-в. Df Двоичное дерево •пуст.дер. •структур-ный терм вида (t, l, r), где – имя, t - произвольный терм (узел дерева), l, r – двоич-ные дер. – лев. и прав. поддер. Df (t, l, r) (x==t) (x) (x). Df Дер. T наз-ся AVL-деревом, если T=, либо T=(x, l, r), где–AVL-деревья, и |h(l)-h(r)|1., где h – глубина, опред-я след. образом: h(=0 и h((t, l, r)) = max(h(l),h(r))+1. Сбал-е деревья нужны для быстрого поиска, тк обычные деревья поиска могут не обладать всей привлекательностью дв-го поиска, напр. для отсортиров-й посл-ти дерево поиска будет выглядеть как список, и поиск O(n). В сбал-м дереве поиск имеет сл-ть O(log_2(n)). Доб-е узла в такое дерево связано с трудностями, тк может нарушаться сбал-ть и требоваться перестройка. Для реализации необх. сохранять информацию о сбал-ти дерева. Требуется знать разницу между высотами поддер-в, кот.м.б.равна -1,0,+1. Для упрощения операций желательно сопровождать инф-ю о полной высоте деревьев. Представим AVL-деревья в след. форме: t( Left, A, Right) /Height. Пустое дер.-nil/0. Рассм.операцию вставки эл-та X в непустое дер.. Tree=t(L,A,R)/H. Изучим тот вариант, в кот. X>А. После этого вставим X в дерево К и получим следующее отношение: addsvl(R, X, tl R1, В, R2) /Hb).Деревья L и R могут отличаться по высоте не больше чем на 1. Поскольку в дерево R вставлен только один элемент, X, то не более чем одно из поддеревьев (R1 пли R2) может иметь высоту h + 1. В том случае, если X меньше А, ситуация является аналогичной, за исключением того, что левое и правое поддеревья меняются местами. Поэтому в любом случае необх-мо сформировать новое дерево из трех деревьев (назовем их Treel, Tree2 и ТгееЗ) и двух отдельных элементов, А и В. Порядок компонентов в дереве NewTree слева направо должен быть следующим: Tree1, А, Тгее2, В, ТгееЗ. Необходимо рассмотреть следующие варианты. 1. Среднее дерево, Тгее2, является более высоким, чем оба других дерева. 2. Дерево Treel является, по меньшей мере, таким же высоким, как деревья Тгее2 и ТгееЗ. 3. Дерево ТгееЗ является, по меньшей мере, таким же высоким, как деревья Тгее2 и Treel. В варианте 1 среднее дерево (Тгее2) необходимо разделить на части и включить их в дерево NewTree.