6.3. Статистика волн и применение спектральных методов

Всякий, кто вглядывался в неспокойное море, знает, что редко удается дать его простое описание, используя плоские волны. Поверхность реального океана в любое мгновение имеет сходство с довольно нерегулярной пространственной картиной впадин и гребней различных размеров, форм и ориентации. В следующий момент возникает новая, очень сложная картина, часто мало похожая на предыдущую. Дать описание и понимание динамики случайного состояния поверхности моря призваны статистические, вероятностные методы.

Для полной характеристики морского волнения необходимо знать бесконечномерный закон распределения возвышения волновой поверхности, однако для практических целей обычно применяются более простые вероятностные характеристики, описывающие волнение лишь приближенно. К таким характеристикам относятся энергетический спектр волнения и функции распределения элементов волн. Параметризуя спектры и функции распределения и используя равномасштабную изменчивость параметров, можно получить данные, необходимые для описания волнового климата, так как от статистики параметров нетрудно перейти к статистическому описанию той реальной волновой поверхности, которая непосредственно воздействует на суда, сооружения и берега.

6.3.1. Расчет энергетического спектра

Вычисление энергетических спектров морского волнения на основе реальных данных осуществляется в соответствии с хорошо известными в теории математической статистики алгоритмами.

Остановимся кратко на двух используемых методах расчета энергетических спектров. Первый метод (метод Блекмана–Тьюки) заключается в расчете автокорреляционной функции, которая затем сглаживается и с помощью преобразования Фурье дает спектр.

Разработанный недавно метод быстрого преобразования Фурье (БПФ) позволяет непосредственно подсчитать коэффициенты Фурье временных рядов без промежуточной оценки автоковариационной функции. В методе БПФ ряд сначала разделяют на очень малые части (где возможно, вплоть до отдельных точек), для которых очень легко подсчитать коэффициенты Фурье, а затем на основе коэффициентов Фурье для коротких рядов получается спектр полного ряда. Для ряда N точек по методу БПФ нужно выполнить только 2N log₂ N операций по сравнению с N² операциями, необходимыми по методу Блекмана–Тьюки. Поэтому понятно, что метод БПФ стал очень популярным при анализе длинных геофизических временных рядов; однако, поскольку часто необходимо иметь данные о автокорреляционной функции, то метод Блекмана–Тьюки, хотя он и более медленный, является иногда предпочтительным, так как дает как автоковариацию, так и спектр.

Рассмотрим временной ряд y(t), состоящий из величин, заданных в четном числе регулярно расположенных точек при временах t = 0, Δ, 2Δ, ..., (N – 1)Δ. Из этих величин может быть составлен ряд Фурье для гармоник основной частоты f_I = I/NΔ (размерность — цикл в секунду). Поскольку точки с данными разделены конечным интервалом времени, только конечное число гармоник входит в ряд Фурье. Наивысшая частота, которая может быть обнаружена с помощью данных, отобранных через интервалы Δ, это f_N/2 =1/2 Δ, что является 1/2 N-ой гармоникой. Эта частота называется частотой Найквиста. Дискретный ряд Фурье для такого представленного в цифровом виде сигнала есть конечная сумма вида

где ω_n = 2πm/NΔ.

Коэффициенты Фурье записываются как

Из этих коэффициентов Фурье можно составить энергетический спектр, который является мерой распределения дисперсий по различным составляющим ряда Фурье. Энергетический спектр для случая дискретной выборки имеет вид:

Здесь T = NΔ — протяженность временного ряда.

Естественным видом представления энергетического спектра является график зависимости S(ω) от ω. В некоторых случаях, однако, когда ω изменяется в широких пределах, удобнее пользоваться логарифмическим масштабом частоты. Тогда целесообразно построить зависимость ω S(ω) от lg ω так, что полная площадь под построенной кривой остается равной полной дисперсии для временного ряда. Можно иллюстрировать распределение дисперсии по частотам, строя квадрат коэффициентов Фурье (a_m)² при дискретных частотах ω_m. Результирующий график называется периодограммой или линейным спектром Фурье.