4.3.3. Симметричные распределения Ic–iiIc типов

Рассмотрим симметричные распределения Ic–IIIc типов, заданные плотностью

(4.3.43)

или в дифференциальной форме

.

Запишем последнее уравнение в виде

.

Умножим обе части полученного равенства на t^r и проинтегрируем на бесконечном интервале. В результате получим

. (4.3.44)

При r=1 и r=3 из (3.3.44) найдем

, (4.3.45)

. (4.3.46)

Тогда показатель островершинности будет равен

. (4.3.47)

Последняя формула совпадает с формулой (4.3.14). Величина в зависимости от типа распределения принимает значения (при u>–2/3, или ): – для Ic типа; =3 – для IIc типа (нормального закона); >3 – для IIIc типа.

Отсюда следует, что показатели могут служить критериями для различения распределений Ic–IIIc типов.

Выразим параметры симметричных распределений Iс-IIIc типов через их центральные моменты.

В случае нормального закона (тип IIc) оценка параметра α равна

. (4.3.48)

Оценки параметров α, u распределений Ic, IIIc типов равны

, (4.3.49)

, (4.3.50)

при этом остается также справедливой общая формула

, (4.3.51)

полученная ранее для распределений I-III, I, II типов при .

Действительно, поскольку для симметричных распределений показатель , то на основании (4.3.8) имеем:

.

Тогда формула (4.3.51) в этом частном случае примет вид

,

что совпадает с (4.3.50).

Таким образом, показатели L, u могут служить критериями для классификации как симметричных распределений с параметрами , так и других распределений I-III, I, II типов с параметром .

4.3.4. Критерии для классификации распределений по методу моментов

Все распределения, рассмотренные в п.4.3.1 – 4.3.3, могут быть разделены на типы с помощью критериев L, u, введенных автором.

Критерий L выражается через показатели асимметрии ₁ и островершинности ₂

.

При (в случае симметричных распределений) показатель , т.е. он совпадает с показателем островершинности.

Критерий (он же параметр) u задается формулой

,

где величины А,…,Е или А*,…Е* вычисляются по формулам (4.3.7) или (4.3.8).

На рис. 4.3.1 дана классификация по критериям u, L распределений с параметром , а также симметричных распределений, для которых критерий L задается формулой

.

Р ис. 4.3.1. Классификация распределений по критериям u, L.

Эти же распределения можно классифицировать по критериям (рис.4.3.2). В этом случае распределения II типа представлены прямой . Распределения II типа – кривой

. (4.3.52)

Последняя формула является следствием равенства В²–4АС=0, справедливого для кривых II типа.

Рис. 4.3.2. Классификация распределений по критериям β_1, β_2.

Распределения III и I типов занимают одну и ту же область между распределениями II и II типов, поскольку кривая I типа при β=1 представляет собой соответствующую кривую III типа, но смещенную вдоль оси абсцисс на величину –1/αu>0.

Распределения I типа занимают область между двумя прямыми – и , при этом распределения Ic типа (при ) находятся на интервале 1,8<β₂<3 оси ординат. Выше кривой II типа находится область распределений, для которых дискриминант В²–4АС<0.

Эту область покрывают распределения III–V типов, принадлежащие трем основным системам непрерывных распределений. На рис. 4.3.2 последние расположены ниже прямой β₂=6+0,75β₁. Распределения IV типа (при ) лежат на прямой β₂=5+β₁.

Сделаем некоторые выводы.

Рассмотренный выше классический метод моментов оценивания параметров имеет существенные недостатки. Во-первых, он применим лишь к распределениям, имеющим моменты вплоть до четвертого порядка, при этом параметр . Во-вторых, метод моментов весьма чувствителен к выбросам на концах статистического распределения, т.е. он не относится к устойчивым методам оценивания параметров.

Как показала практика, этот метод хорошо работает в случае выравнивающих распределений I типа, заданных на ограниченном с обеих сторон интервале, особенно если распределение близко к симметричному.

Для того, чтобы полнее использовать возможности обобщенных распределений по выравниванию статистических рядов распределения, необходимо иметь общие методы оценивания параметров для распределений всех типов, в том числе не имеющих моментов выше нулевого порядка (в традиционном их понимании). Методы должны быть общими для трех плотностей (3.2.8), (3.4.3), (3.4.4).

Ниже рассматриваются два таких метода, разработанные автором.