10 Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.         

Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса   опустим перпендикуляр   на директрису   . Начало координат   расположим на середине отрезка   , ось   направим вдоль отрезка   так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора   . Ось   проведем перпендикулярно оси   (рис. 12.15).

Рис.12.15.

   Теорема 12.4   Пусть расстояние между фокусом   и директрисой   параболы равно   . Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

(12.10)

  Доказательство.     В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка   , а директриса имеет уравнение   (рис. 12.15).

Пусть    -- текущая точка параболы. Тогда по формуле (10.4) для плоского случая находим

Расстоянием от точки   до директрисы   служит длина перпендикуляра   , опущенного на директрису из точки   . Из рисунка 12.15 очевидно, что   . Тогда по определению параболы   , то есть

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

откуда

После приведения подобных членов получим уравнение (12.10).      

Уравнение (12.10) называется каноническим уравнением параболы.

        Предложение 12.4   Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью   .

        Доказательство.     Проводится так же, как и доказательство  (предложения 12.1).      

Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы.

Если переобозначить переменные   ,   , то уравнение (12.10) можно записать в виде

который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Поэтому параболу нарисуем без дополнительных исследований (рис. 12.16).

Рис.12.16.Парабола

        Пример 12.6   Постройте параболу   . Найдите ее фокус и директрису.

Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы,   ,   . Осью параболы служит ось   , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси   . Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному   и находим значения   . Возьмем точки   ,   ,   . Учитывая симметрию относительно оси   , рисуем кривую (рис. 12.17)

Рис.12.17.Парабола, заданная уравнением 

Фокус   лежит на оси   на расстоянии   от вершины, то есть имеет координаты   . Директриса   имеет уравнение   , то есть   .         

Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рис. 12.18). Свойство сформулируем опять без доказательства.

        Предложение 12.5   Пусть    -- фокус параболы,    -- произвольная точка параболы,    -- луч с началом в точке   параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке  делит угол, образованный отрезком   и лучом   , пополам.     

Рис.12.18.Отражение светового луча от параболы

Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса   , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.