1) Необходимость

2. Достаточность

Д13. Дифференцирование высших порядков

Пусть функция y=f(x) n раз дифференцируема на интервале (a,b)=> f ‘(x), f ‘’(x),..,f⁽ⁿ⁾_(x)=> dy=f ‘(x)dx

Дифференциал функции зависит от точки x и зависит от приращения функции dx(∆x)

d(dy)=d(f ’(x)dx)=(f ’(x)dx)’_xδx (другое приращение)

1)Будем считать, что dx(первое приращение аргумента)-постоянно

=(f ’’(x)dx)δx; 2) Будем считать δx=dx

=f ’’(x)dx²; d(dy)=f ‘’(x)dx²

О) Дифференциалом 2 порядка дважды дифференцированной функции называется дифференциал от функции 1 порядка при следующих условиях: 1) 1 приращение аргумента x фиксировано(dx-const); 2) 2 приращение аргумента δx=dx

Аналогично описываются d³y=d(d²y)=f ‘’’(x)dx³

dy⁽ⁿ⁾=d(d^n-1y)=fⁿ(x)*dxⁿ

Пример) y=sinx Найти d³y

d³y=f ^‘’’(x)dx³; f(x)=sinx; f ’(x)=cosx;

f ‘’(x)=-sinx; f ‘’’(x)=-cosx; d³y=-cosxdx³

Д9.1 Понятие дифференцируемой функции в точке.

Определение. Дифференциалом функции у = f(х) в точке х₀ называется главная линейная относительно приращения аргумента ∆х часть приращения функции ∆у. Дифференциал обозначается символом dy.

Приращение функции и ее дифференциал являются эквивалентны­ми бесконечно малыми величинами, их разность есть величина бес­конечно малая более высокого порядка малости по сравнению с каж­дой из них ∆y ~ dy.

Формула вычисления дифференциала. Дифференциал функции у = f(x) в точке х₀ равен произведению про­изводной этой функциии f'_x(x), вычисленной в точке х₀, на приращение независимой переменной х.

dy = f'_x(^xo) • As, или dy = у^|_x (х₀) • ∆x (1).

Согласно этой формуле дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой, так как при у = х имеем j/ = х' = 1 и cit/ = dx = 1 • Дх s Дх. Итак, cfx = Дх. Тогда формула вычисления дифференциала примет такой вид

dy = f'_x(x₀)-dx, или dy = y'_x(x₀) - dx . (2)

Формулы (1) и (2) нахождения дифференциала равнозначны.

Д9.2 Геометрический смысл дифференциала.

Геометрически дифференциал равен приращению орди­наты касательной, проведенной к графику функции в точке хо.

Производная же численно равна угловому коэффициенту касательной.

Д9.3 Свойства дифференциала.

Пусть U(x), V(x)-дифференцируемы на x є R

1. d(c)=0, c=const dy=y’dx

2 . d(U±V)=dU±dV Пусть

3. d(U*V)=dU*V+U*dV

4. d(CU)=CdU

5.

Свойство инвариантности – свойств сохраняет свою форму:

(функ.) (функ.)

dy(x)=y’(x)dx

(незав.перем) (незав.перем.)

dy(x)=y’(x)dx

Д10. Инвариантность формы первого дифференциала.

Инвариантность (неизменность) формы дифференциа­ла.

Формула первого дифференциала справедлива и для случая сложной функции

у = f[x(t)]

Несмотря на то, что дифференциал и производная функции отлича­ются лишь множителем dx или ∆х, суть их разная.

Д11. Производные высших порядков.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точке (или промежутке). Тогда — есть первая производная или про­изводная первого порядка этой функции. Эта производная является функцией той же независимой переменной и, если эта функция диф­ференцируема, то - вторая производная или производ­ная второго порядка данной функции. И т.д.

Предположим, что f’’(x) имеет производную в (.) х Х, т.е. производная от 2-ой производной.

y’’’=(f’’(x))’

Этот процесс можно продолжить.

Предположим, что производная (n-1) порядка имеет пр-ную в (.) х Х

y⁽ⁿ⁾=(f⁽ⁿ⁾(x))’

Определение производной n-го порядка (n-ой производной) от ф-и f(x) в (.) х Х наз-ся производная от производной порядка (n-1).

(sinx)⁽ⁿ⁾=sin(x+/2n)

f’(x)=cosx=sin(x+/2)

f’’(x)=-sinx=sin(x+2*/2)

f’’’(x)=-cosx=sin(x+3*/2)

f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x+n*/2) – гипотеза (*)

Д-во:

1) Проверить справедливость формулы(*) для n=1

f’(x)=sin(x+/2)=cosx

2) Предположим, что эта формула справедлива для n=k. Док-м, что она справедлива для n=2k+1

f^(k)(x)=sin(x+k*/2) – истинное равенство

f^(k+1)(x)=cos(x+k*/2)

f^(k+1)(x)=sin(x+k*/2 +/2)

f^(k+1)(x)=sin(x+(k+1)*/2)

Производная второго порядка есть производная от производной пер­вого порядка. Производная третьего порядка есть производная от производной второго порядка. Производная n - го порядка есть про­изводная от производной (n — 1) - го порядка

Функция называется n раз дифференцируемой в точке (или проме­жутке), если в этой точке (или промежутке) существуют все ее про­изводные до n - го порядка включительно.

Определение ф-ия имеющих в (.) х производные люб. порядка наз. ф-ей бесконечно дифференцируемой.

Пример: f(x)=e^x, f(x)=sinx, f(x)=cosx

Д12. Производные высших порядков от функции, заданной неявно, параметрически. Формула Лейбница.

Производной от функции f порядка n называется первая производная от производной от f порядка n-1 и обозначается: f’’(x)=(f^(n-1)(x))’ или так: y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’.

Пусть F(x,y)=0 оп-ем на (a,b) и раз. диф-ую ф-ю Найти ее производную x²+y²-4=0 оп-ем на [-2;2]

неявно заданную ф-ию y=y(x)

Это означает, что

x²+y²(x)-4=0

2x+2y(x)*y’(x)=0

Параметрически:

Пусть функция заданно параметрически , где φ(t), Ψ(t) дифференцируемы по параметру t

φ’(t)≠0

Док-во:

Д14. Теорема о среднем значении для дифференцируемых функций. Теорема Ферма, Роля, Лагранжа, Коши.

Д14.1 Т. Ферма

Если функция y=f(x):