Дl. Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1.

S =S(t) S

M₀ M M_i

Пусть в некоторый момент времени t тело находится в точке М на расстоянии от M₀, а в t + ∆T на расстоянии M_i от M₀ ∆t. S(t + ∆t) – S(t) = ∆S

Рассмотрим 1) → равномерное движение

2) → Средняя скорость не равномерное движение

∆t→0

Если существует - скорость движение в данный момент времени

Задача 2.

γ=γ(t) – количество вещества

t→γ(t)

t+∆t→γ(t+∆t)

∆t→γ(t→∆t)- γ(t)= ∆ γ

Д2.1. Понятие производной функции в точке.

- это предел и называется производной функции y=f(x) в точке х₀ и обозначается (или ).

Опр. Производной функции у=f(x) называется предел отношения функции к приращению аргумента при стремлении этого приращения к нулю.

(в предложении что это предел существует)

Если это предел существует, существует и производная в точке х₀, и функция называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Д2.2 Односторонние производные функции в точке.

Д3. Связь производной в точке с ее непрерывностью в этой точке.

Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке. Но из непрерывности функции в точке не следует дифференцируемость (существования производной) в точке. Поэтому при применении производной в конкретной задаче необходимо учитывать область определения как самой функции, так и ее производной.

Д4.1 Геометрический смысл производной

Из задачи о проведении касательной к графику функции =>, что угловой коэффициент касательной k=tgα=f’(x₀). Поэтому с геометрической точки зрения производная f’(x₀ есть tg угла наклона касательной проведенной к графику функции f(x) в (.) с абсциссой x₀.

T: y-y₀=f’(x₀)(x-x₀)–уравнение касательной

О1)Касательной к графику функции y=f(x) в точке M₀(x₀,y₀) называется предельное положение секущей М₀М при стремлении точки М по кривой к точке М₀

N:y-y₀=(1/f’(x₀))*(x-x₀)-норм-я

прям-я(нормаль)

Значение производной функции в точке есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции данной точке.

Дифференцируемость функции в точке с геометрической точки зрения означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную. Если функция не дифференцируема в точке, то это означает, что касательная к графику функции в точке проходит вертикально ( ), или в точке к графику функции можно провести больше, чем одну касательную (производная не существует).

Д4.2 Физический смысл производной

Значение производной функции в точке есть мгновенная скорость изменения функции в данной точке.

Физический смысл производной зависит от физического смысла рассматриваемой производной.

Положительное значение производной в точке означает, что скорость изменения функции в этой точке положительна и, следовательно, функция растет. Отрицательное же значение производной говорит о факте ее убывания.

1)S=S(t)-путь пройд-й за t при нерав-ом прям-ом движ.

∆S/∆t=Vcp на [t₀,t₀+∆t]; V(t₀)=lim(∆t->0)∆S/∆t=S’(t₀)

Мгновен-я V (.) движ. прям. и неравн. есть произ-я от пути по времени.

2)Q=Q(t) кол-во электр-а протек-го через поперечн. сеч-е пров-ка за время t.

∆Q/∆t=I сред-я на промеж-е [t₀,t₀+∆t]

Сила тока в момент времени t₀ есть произ-е от кол-ва эл-ва по времени

3)m=m(x) масса неоднор-й стержень в зав-ти от его длины; ∆m/∆x=ρср-сред-я плотность стержня на уч-ке[x₀,x₀+∆x]; ρ(x₀)=lim(∆x->0)∆m/∆x=m’(x₀) линейная плот-ть неод-го стержня в (.) x₀ есть произ-я от массы стержня по длине.

4)m=m(t)-кол-во вещ-ва, прореаг-го за t; ∆m/∆t=Vср-средняя скор реак-и на [t₀,t₀+∆t]; V(t₀)=lim(∆t->0)∆m/∆t=m’(t₀)- скор р-и в момент t есть произ-я массы по времени

Д5.1 Правило дифференцирования. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

Д5.2 Производная обратной функции.

П усть у=f(x) в точке x₀. Если существует х=f^-1(y) тогда она имеет производную в точке y₀=f(x₀), прямой

y=f(x)

x=f ^-1(y)

Д5.3 Производная сложной функции.

Д6.1 Понятие обратной функции, функции заданной неявно и параметрически.

Пусть функция y=f(x) определена на X и Y-множество ее значений. Если каждому значению y из Y(y Y) по тому же самому закону ставится в соответствие единичныый элемент x X то говорят, что на множестве Y определена обратная функция y=f(x). Графики прямая и обратной функции совпадают. Не для всякой функции можно определять обратную функцию.

Т)Если функция y=f(x) строго монотонна и непрерывна на множестве X то на множестве ее значений Y существует обратная функции x=f ^-1(y)

y(x)=x², x [0,+ ]; y=x²- строго возраст и непрерывна, как элементарная функция на [0,+ ]. Следовательно на Y=[0,+ ] существует обратная функция x=y^1/2. Геометрически этому преобразованию отвечает симметричное отображение графика f(x) относительно биссектрисе 1 и 3-го координатных углов.

Зам-е)Условия строгой монотонности и непрерывности функции y=f(x) является существенными для существования обратной функции.

Опр. Функция y=f(x) называется неявной функцией независимой переменной х, если она задана уравнением F(x;y)=0, не разрешаемой относительно y.

При подстановке y=f(x) в равенство F(x;y)=0 вместо у оно обращается в тождество, т.е. F(x;f(x))≡0.

Параметрически заданная функция.

Пусть на интервале (α,β) заданы 2 функции x=x(t) и y=y(t). И пусть x=x(t) строго монотонна и непрерывна на (α,β). Тогда на множестве ее значений существует обрат функция t=t(x).Подставим ее в y=y(t), получим y=y[t(x)]

Функция y=y[t(x)] заданная с помощью уравнений y=y(t) и x=x(t) t (α,β) называется заданной параметрически.

Д6.2 Дифференцирование неявно заданной функции; функции, заданной параметрически.

F(x,y) y^|_x -?

Если зависимость между аргументом x и функцией этого аргумента у задана уравнением, неразрешенном относительно у, то для отыскания производной от y по x надо продифференцировать этого уравнения по х, рассматривая при этом у как функцию от х. разрешая полученное уравнение (х, у, х’, y’) относительноy’. Найдем у’ по х.

Параметрически.

Пусть зависимость между аргументом х и функцией задана параметрически

- параметр

Д6.3 Логарифмическое дифференцирование

Если y=y(x)>0 x X и функция y(x) упрощается после логарифмирования то целесообразно сначала найти lny(x), а затем используя правило дифференцирования неявно заданной функции найти y’(x)

1. y=U(x)^V(x), U(x)>0 (показательно степенная)

(lny)’_x=(V(x)lnU)’_x (неявно заданная функция)

(1/y(x))*y’(x)=V’(x)lnU(x)+V(x)*(1/U(x))*U’(x)

y’(x)=U(x)^V(x)*[V’(x)lnU(x)+V(x)*U’(x)/U(x)]

Т.4. (О дифференциальности обратной функции)

Пусть y=f(x); x=φ(y); y’_x, y’_x -?

Д7. Понятие дифференцируемой функции в точке.

Определение. Дифференциалом функции у = f(х) в точке х₀ называется главная линейная относительно приращения аргумента ∆х часть приращения функции ∆у. Дифференциал обозначается символом dy.

Приращение функции и ее дифференциал являются эквивалентны­ми бесконечно малыми величинами, их разность есть величина бес­конечно малая более высокого порядка малости по сравнению с каж­дой из них ∆y ~ dy.

Д8. Необходимое и достаточное условие существования производной в точке.

Для того чтобы функция y=f(x) имела конечную производную в точке необходимо и достаточно чтобы в некоторой окрестности этой точке ее приращения было представлено в виде

Док-во: