1.7 Оценка значимости коэффициента корреляции (корреляционного отношения)

Ошибку выборочного коэффициента корреляции (корреляционного отношения) рассчитываем по формуле:

При небольшом числе испытаний для ответа на вопрос, можно ли судить о наличии корреляции по коэффициенту корреляции ( ) и корреляционному отношению ( ), полученным из выборочной совокупности, используется t-критерий Стъюдента. При этом определяется его расчетное значение по формуле:

Теоретическое (табличное) значение t-критерия Стъюдента:

Отсюда можно сделать вывод о том, что корреляционное отношение значимо (надежно) не только в выборочной, но и в генеральной совокупности.

1.8 Оценка значимости коэффициентов регрессии

Расчетное значение t-критерия Стъюдента определяем по формуле:

, (7)

где - число коэффициентов регрессии;

- коэффициент при члене уравнения регрессии ( , и т.д.).

При этом:

Табличное значение t-критерия Стъюдента:

Следовательно, коэффициенты регрессии значимы не только в выборочной, но и в генеральной совокупности.

1.9 Оценка значимости уравнения регрессии

Для оценки значимости (надежности) уравнения регрессии применяют F-критерий Фишера, расчетное значение которого сравнивают с табличным.

Расчетное значение F-критерия Фишера определяем по формуле:

, (8)

где - дисперсия фактических значений зависимой переменной, ;

- остаточная дисперсия уравнения:

Тогда:

Табличное значение F-критерия Фишера определяется по распределению Снедекора:

где , - число степеней свободы,

Таким образом, , следовательно, уравнение регрессии является значимым, т.е. его предсказательная сила больше, чем у среднего значения .

Общий вывод: поскольку выборочная совокупность данных репрезентативна, корреляционное отношение ( ), коэффициенты регрессии и уравнение регрессии значимы, то полученное уравнение парной линейной регрессии ( ) можно использовать в качестве математической модели для практических расчетов.

2 Выполнение корреляционно-регрессионного анализа с помощью компьютера

Корреляционно-регрессионный анализ можно осуществить, использую табличный процессор Excel или программный комплекс Statistica. Поскольку Excel находит более широкое применение, то будем работать именно с ним. Следует уточнить, что в Excel линии регрессии называются линиями тренда.

Анализ осуществляем в следующей последовательности:

1) создаем новую книгу Excel. Вводим заголовок зависимости и исходные данные, приведенные в таблице 1;

2) создаем (с помощью Мастера диаграмм) поле корреляции – диаграмму рассеяния или разброса;

3) на поле корреляции наносим возможные линии регрессии (линии тренда). Для этого, открыв контекстное меню на поле корреляции, выбираем команду «Добавить линию тренда». При этом в диалоговом окне на вкладке «Тип» будут показаны возможные типы линий тренда. Поочередно наносим их на поле корреляции, в т.ч.: линейную (рисунок 4), логарифмическую (рисунок 5), полиноминальную (рисунок 6), степенную (рисунок 7), экспоненциальную (рисунок 8).

При этом каждый раз на вкладке «Параметры» задаем размещение уравнения и значение достоверности аппроксимации ( ). Полученные результаты сводим в таблицу 7.

Рисунок 4 – Линейная линия тренда

Рисунок 5 – Логарифмическая линия тренда

Рисунок 6 – Полиноминальная линия тренда

Рисунок 7 – Степенная линия тренда

Рисунок 8 – Экспоненциальная линия тренда

Таблица 7 - Сравнение полученных уравнений регрессии

Уравнение		Вывод
y = 1,616x - 2,073	0,997	Да
y = 19,52ln(x) - 29,77	0,962	Нет
y = 0,006x2 + 1,449x - 1,075	0,997	Да
y = 1,086x1,111	0,993	Нет
y = 5,445e0,089x	0,972	Нет

4) Находим линию тренда, имеющую наибольшее значение достоверности аппроксимации – линейную ( ), которую и выбираем в качестве линии парной регрессии для исследуемой зависимости.