2.8. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема (Формула интегрирования по частям в определенном интеграле).

Если функции и имеют непрерывные на отрезке производные, то справедлива формула .

Пример 1. Вычислить .

Решение.

.

Пример 2. Вычислить .

Решение.

Применив дважды операцию интегрирования по частям, снова получили исходный интеграл, то есть пришли к уравнению относительно искомого интеграла.

. Решим это уравнение.

2.9. Несобственные интегралы

При вычислении определенного интеграла предполагалось что:

1. отрезок интегрирования конечный;

2. функция y = f(x) непрерывна на .

Если нарушено хотя бы одно из этих условий, то определенный интеграл называется несобственным.

Все несобственные интегралы делятся на интегралы I и II рода.

Несобственные интегралы I рода – интегралы с бесконечными пределами интегрирования имеют вид: , , .

Вычисление несобственных интегралов I рода осуществляется следующим образом:

1) ;

2) ;

3) .

Несобственный интеграл существует или сходится, если существует конечный предел, стоящий в правой части равенства случаев 1) и 2), а в случае 3) – оба предела. Если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл расходится.

Пример 1. Вычислить .

Решение. .

Предел при не существует, то есть данный интеграл расходится.

Пример 2. Вычислить .

Решение. , то есть несобственный интеграл сходится.

Пример 3. Вычислить .

Решение.

Несобственный интеграл конечен, следовательно, сходится.

Несобственные интегралы II рода – интегралы от неограниченных функций.

Вычисление несобственных интегралов II рода осуществляется следующим образом:

если функция определена и непрерывна на полуинтервале , а в точке терпит бесконечный разрыв, то

;

если функция определена и непрерывна на полуинтервале , а в точке терпит бесконечный разрыв, то

;

если точка , в которой функция терпит бесконечный разрыв лежит внутри отрезка , то , то есть получили 1) и 2) случаи.

Если пределы, стоящие в правой части равенства случаев 1), 2) и 3) существуют и конечны, то несобственные интегралы сходятся, в противном случае они расходятся.

Пример 1. Вычислить .

Решение.

Так как конечного предела не существует, следовательно, несобственный интеграл расходится.

Пример 2. Вычислить .

Решение.

Так как предел конечный, следовательно, несобственный интеграл сходится.

2.10. Некоторые геометрические приложения определенного интеграла

I. Вычисление площади плоской фигуры

1) Площадь криволинейной трапеции (см. рис. 5), ограниченной кривой y =f(x) , прямыми _, и отрезком оси , вычисляется по формуле .

П ример. Вычислить площадь фигуры (см. рис.6), ограниченной кубической параболой , прямой и осью .

Решение. (кв.ед.).

2 ) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой _, прямыми и отрезком оси , вычисляется по той же формуле, что и при _, но определенный интеграл будет равен отрицательному числу. В этом случае площадь криволинейной трапеции численно равна абсолютной величине этого числа, а знак минус означает, что трапеция расположена ниже оси , то есть .

3 ) Если график непрерывной функции пересекает ось несколько раз, например, в точках (см. рис. 8), то площадь плоской фигуры, ограниченной графиком данной функции, прямыми и осью , вычисляется по формуле.

Пример. Вычислить площадь фигуры (см. рис. 9), ограниченной линиями , и .

Решение. Парабола пересекает ось в двух точках с абсциссами 0 и 1, так как если , то , следовательно, , или . Тогда

4) Если плоская фигура ограничена снизу и сверху графиками функций и , , , где , – две непрерывные функции. Тогда площадь данной фигуры равна:

.

Пример. Вычислить площадь фигуры (см. рис. 10), ограниченной графиками функций и .

Р ешение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой . Решая систему , получаем, что , .

Подставляем найденные пределы интегрирования и функции в формулу: S= (кв.ед.).

5) Площадь криволинейной трапеции в случае, когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями , , , причем , находится по формуле , которая получена из формулы заменой переменных.

Пример. Вычислить площадь плоской фигуры (см. рис. 11), ограниченной одной аркой циклоиды и осью .

Р ешение. Так как , то , а изменяется от до . Следовательно,

(кв. ед.).

6

α

) Площадь криволинейного сектора (см. рис.12), ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением , , – непрерывная функция, на отрезке находится по формуле .

Пример. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной лемнискатой (см. рис. 13).

Р ешение. Пусть . Четвертой части искомой площади соответствует изменение от 0 до , следовательно,