2.2. Геометрический смысл определенного интеграла
Если
,
,
то геометрически
определенный интеграл выражает
площадь
фигуры,
ограниченной графиком функции
,
осью
и двумя прямыми
(см. рис. 2).
Эта фигура называется криволинейной
трапецией.
В
общем случае, когда функция
на отрезке
принимает значения разных знаков,
определенный интеграл выражает разность
площадей криволинейных трапеций,
расположенных над осью
и под ней, так как площадям криволинейных
трапеций, расположенных под осью
присваивается знак " -
".
2.3. Основные свойства определенного интеграла
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(Здесь и далее предполагается, что указанные интегралы существуют).
2.4. Оценки интегралов. Формула среднего значения
.
Если
на
и
,
то
.
.
Если
на
и
,
то
.
.
Если
,
и
,
то
.
Теорема (теорема о среднем). Если функция непрерывна на , то на этом отрезке существует точка с такая, что
.
(2.1.)
Р
авенство
(2.1.) называется формулой
среднего значения,
а величина
– средним
значением
на
.
Замечание. Геометрический смысл теоремы заключается в том, что величина определенного интеграла при равна площади прямоугольника, имеющего высоту и основание (b – a) (см. рис.3).
2.5. Связь между определенным и неопределенным интегралом. Интеграл с переменным верхним пределом
О
пределение.
Функция
,
аргументом которой является верхний
предел
определенного интеграла называют
интегралом
с переменным верхним пределом.
Замечание.
Геометрически функция
представляет собой площадь заштрихованной
на рис. 4 криволинейной трапеции, если
.
Теорема. Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке x, равной верхнему пределу, т.е.
.
(2.2)
Следствие. Интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для непрерывной функции на отрезке .
Так
как всякая другая первообразная может
отличаться от
только на постоянную, то из следствия
следует связь между неопределенным и
определенным интегралом:
.
2.6. Формула Ньютона-Лейбница
Функция
– является одной из первообразных для
непрерывной на
функции
.
Пусть
– любая другая первообразная для
на том же отрезке
.
Так как первообразные отличаются на
константу, то имеет место равенство:
,
.
(2.3)
Теорема (Формула Ньютона-Лейбница).
.
(2.4)
Пример
1.
Вычислить
.
Решение.
.
Пример
2.
Вычислить
.
Решение.
=
.
Примечание.
Пример 2 можно было решить, используя 7
свойство, то есть
.
2.7. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема (Формула замены переменной (подстановки) в определенном интеграле).
Пусть – непрерывная функция на отрезке . Тогда, если:
1)
– дифференцируемая функция,
– непрерывная функция,
2)
и
,
то справедлива формула:
.
(2.5).
Пример
1.
Вычислить
.
Решение.
.
Пример
2.
Вычислить
.
Решение.
.
Замечание.
При использовании формулы (2.5) необходимо
проверять выполнение условий теоремы.
Например, в примере 2 функция
=
непрерывна на [0,1],
дифференцируема на [0, p/2]
и
непрерывна на [0, p/2].