Памятка студента (корректируется для каждой специальности)

Наименование модуля	Вид контроля	Длительность изучения (специальность ФК)	Вес модуля в итоговом рейтинге	Примечания
М4. Интегральное исчисление функции одной переменной	ИЗ 4	5 недель (16 часов)		Оценивается зачтено / не зачтено (могут добавляться поощрительные баллы либо вычитаться, но не более 10)
	КР		0,15	Контрольная работа по неопределенному интегралу (оценивается в баллах)
	ТЗ		0,15	Тест по интегральному исчислению (оценивается в баллах)

МОДУЛЬ 4

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Неопределенный интеграл

1.1. Первообразная. Неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке , если = для всех значений х из этого промежутка.

Определение. Отыскание функции F(x) по ее производной = называется интегрированием.

Теорема. Если F(x) – первообразная функции f(x) на промежутке , то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная.

Следствие. Множество функций + С, где F(x) – одна из первообразных, исчерпывает все семейство первообразных для f(x).

Определение. Совокупность первообразных F(x) + С, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается = + , где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла:

1. , 2. ,

3. , 4. , где – ,

5. ,

6. .

1.2. Таблица основных интегралов

Поскольку интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то, зная таблицу производных, можно написать таблицу основных интегралов:

1. ; 2. ;

3. , n ¹ 1; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. .

1.3. Непосредственное интегрирование. Подведение константы и функции под знак дифференциала

1. Непосредственное интегрирование – интегрирование путем сведения интеграла к табличным интегралам.

Пример 1. Найти .

Решение. =

.

Пример 2. Найти .

Решение. .

Пример 3. Найти .

Решение.

= .

2. Метод подведения постоянного множителя (константы) под знак дифференциала – это способ интегрирования, использующий следующие формулы:

(подведение под знак дифференциала постоянного множителя k);

(внесение под знак дифференциала постоянного слагаемого С).

Пример 1. Найти .

Решение. .

Таким образом, таблицу интегралов можно дополнить еще одним интегралом: .

Пример 2. Найти .

Решение. .

3. Метод подведения функции под знак дифференциала – это метод интегрирования, использующий формулу:

(подведение под знак дифференциала функции).

Пример 1. Найти .

Решение. .

Пример 2. Найти .

Решение

Пример 3. Найти .

Решение , то есть таблицу интегралов можно дополнить еще одним интегралом: .

Пример 4. Найти .

Решение. .