4.6. Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения: основные понятия и определения. ДУ первого порядка.

Пример. Найти частное решение xyy’ = 1 - x² у(1)=1..

2. Дифференциальные уравнения первого порядка: основные понятия и определения. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение ДУ: x (y + 1) dx - y (x² + 1) dy = 0.

5. Теория вероятностей и математическая статистика.

1. Элементы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания).

Пример. Выделено 3 разные премии на отдел из 6 работников. Посчитать число возможных вариантов разделения премий. Что изменится, если премии будут одинаковыми.

2. Классификация событий (привести примеры), предмет теории вероятностей. Понятия совмещения и объединения событий.

Пример. Среди 100 лотерейных билетов 5 выигрышных. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 билета выигрышные.

3. Виды случайных событий, их примеры. Классическое определение вероятности.

Пример. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают два шара сразу. Какова вероятность того, что оба шара белые?

4. Аксиомы вероятностей. Зависимые и независимые события (в том числе независимые попарно и в совокупности), привести примеры. Условная вероятность.

Пример. В ящике 100 деталей: 80 стандартных и 20 нет. Наудачу берут одну деталь и проверяют стандартность. Затем, не помещая первую деталь обратно, берут вторую и тоже проверяют стандартность. Какова вероятность того, что обе детали стандартные?

5. Вероятность произведения событий.

Пример. У сборщика имеется 3 конусные и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял наудачу один, а затем второй. Найти вероятность того, что первый- конусный, в второй- эллиптический.

6. Вероятность суммы событий.

Пример. Вероятности попадания в цель трех стрелков равны: р₁ = 0,8; р₂ = 0,7; р₃ = 0,9. Стрелки делают залп. Найти вероятность поражения цели.

7. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Пример. Для выбора члена в сборную на олимпиаду из 1-ой группы выделено 4 кандидата, из 2-ой- 6 кандидатов, а из 3-ей- 5 кандидатов. Вероятность того, что кандидат из 1-ой группы попадет в сборную равна 0,9; из 2-ой- 0,7; а из 3-ей- 0,8. Наудачу выбранный кандидат попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?

8. Последовательность испытаний. Формула Бернулли. Формула Лапласа. Формула Пуассона.

Пример. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости 3 раза 6 очков появится 2 раза.

9. Формула Пуассона. Наивероятнейшее число появлений события в последовательных испытаниях.

Пример. С завода в магазин отправлено 2000 бутылок. Вероятность того, что бутылка разобъется в дороге 0,001. Какова вероятность того, что в пути разобъется 4 бутылки?

10. Интегральная теорема Лапласа.

Пример. Вероятность попадания при выстреле 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах число попаданий не менее 70 и не более 80.

11. Понятие случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной СВ и его способы задания.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов, в которых разыгрывается один выигрыш в 50 рублей и 10 выигрышей по рублю. Найти закон распределения выигрышей СВ Х- стоимости выигрыша для владельца одного билета. Построить его графически.

12. Математическое ожидание дискретной СВ и его свойства.

Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию СВ Х:

Х -2 0 3

р 0,1 ? 0,4

13. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной СВ и их свойства.

Пример. Найти среднее квадратическое отклонение дискретной СВ Х:

Х 2 3 10

р 0,1 ? 0,5

14. Функция распределения, и ее свойства.

Пример. Найти функцию распределения и поострить ее график для СВ Х:

Х -2 0 3 5

р 0,1 ? 0,3 0,2

15. Функция плотности распределения, и ее свойства.

Пример. По данной функции плотности распределения найти функцию распределения и построить их графики.

0 , при x < 1;

f(x) = x/4 , при 1 < x < 3;

0 , при x > 3.