4. Математический анализ.
4.1. Теория пределов.
1. Определение предела функции. Нахождение предела непосредственной подстановкой. Виды неопределенностей. Свойства пределов.
Пример.
Найти предел функции:
.
2. Методы раскрытия неопределенностей 1-5.
Пример.
Вычислить предел выражения:
.
3. Эквивалентные БМВ. Раскрытие неопределенностей с помощью эквивалентных БМВ.
Пример.
Найти пределы выражения:
.
4. Первый и второй замечательный пределы. Следствия из них.
Пример.
Найти пределы выражения:
.
5. Односторонние пределы. Непрерывность функции. Классификация разрывов.
Пример.
Найти односторонние пределы при х
→ -2 для функции
,
построить ее схематический график,
классифицировать разрыв.
4.2. Производная.
1. Основные правила дифференцирования. Таблица производных.
Пример.
Найти производную сложной функции:
.
2. Таблица основных производных. Метод логарифмического дифференцирования.
Пример. Найти производную функции: y = x ln(ax2 + bx +c).
3. Таблица основных производных. Дифференцирование функций, заданных параметрически..
Пример. Найти производную функции: x = sin2 t
y = sin 2t .
4. Таблица основных производных. Дифференцирование функций, заданных неявно.
Пример. Найти производную функции: y3 - 3axy + x3 = 0 , где а-const.
5. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей: 0/0, ∞/∞, 0*∞ и ∞* 0, ∞ - ∞, 1 ∞, 00, ∞0 .
Пример.
Используя правило Лопиталя, найти
.
6. Применение производной и пределов к исследованию функций.
Пример.
Найти интервалы выпуклости-вогнутости
функции:
.
4.3. Неопределенный интеграл.
1. Неопределенный интеграл: первообразная функция, понятие неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.
Пример.
Найти неопределенный интеграл:
.
2. Таблица основных неопределенных интегралов. Свойства неопределенного интеграла.
Пример.
Найти неопределенный интеграл:
.
3. Таблица основных неопределенных интегралов. Интегрирование методом подведения под дифференциал. Преобразования дифференциалов.
Пример.
Найти неопределенный интеграл:
.
4. Таблица основных неопределенных интегралов. Интегрирование по частям.
Пример.
Найти неопределенный интеграл:
.
5. Таблица основных неопределенных интегралов. Интегрирование неправильных рациональных дробей.
Пример.
Найти неопределенный интеграл:
.
4.4. Oпределенный интеграл.
1. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла.
Пример.
Вычислить:
2. Интегрирование четных - нечетных функций на симметричном отрезке. Вычисление площадей фигур в декартовых координатах при явно заданной функции.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривыми
3. Вычисление объемов тел и тел вращения.
Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью вращения параболы х = y2 вокруг оси ОХ и плоскостью х = h.
4.5. Функции нескольких переменных
1. Функции нескольких переменных: основные понятия и определения.
Пример. Найти, начертить, охарактеризовать область определения функции z =arcsin(2x -14).
2. Частные, производные функций нескольких переменных. Смешанные производные, их свойство.
Пример. Найти частные производные первого и второго порядка функции z = 3xy+x5 - y3 (a-const).
3. Дифференцирование сложных функций. Полная производная.
Пример. Найти производную сложной функции z = xy , где x = sin t ; y = t2 .
4. Производные неявных функций. Дифференциалы высших порядков.
Пример. Найти дифференциал второго порядка для функции: z = 2x2 – 3xy - y2.
5. Экстремумы функций нескольких переменных.
Пример. Найти экстремумы функции z = x3 + 3xy2 – 30x – 18y.